Inversibilité de matrices appartenant à un sous-ensemble de M2(R)

Durée : 10 mn

Note maximale : 10

Question

Dans l'ensemble \(M_2(R)\) des matrices carrées d'ordre 2, on considère \(F\) l'ensemble des matrices de la forme \(\left(\begin{array}{c c c}a&-b\\b&a\end{array}\right)\), où \(a\) et \(b\) sont des réels quelconques.

  1. Démontrer que toute matrice de \(F\) peut s'écrire sous la forme \(aI+bJ\)\(I\) et \(J\) sont deux matrices de \(M_2(R)\) indépendantes de \(a\) et \(b\).

  2. Démontrer que le produit de deux matrices de \(F\) appartient à \(F\) et qu'il est commutatif.

  3. On considère les matrices \(U=aI+bJ\) et \(U'=aI-bJ\).

    Calculer le produit \(UU'\), en déduire que toute matrice non nulle de \(F\) est inversible et calculer son inverse.

Solution

  1. (2 pts) Soit \(U=\left(\begin{array}{c c c}a&-b\\b&a\end{array}\right)\) une matrice appartenant à \(F\), on peut écrire \(U\) sous la forme :

    \(U=\left(\begin{array}{c c c}a&0\\0&a\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c c c}0&-b\\b&0\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{c c c}1&0\\0&1\end{array}\right)+b\left(\begin{array}{c c c}0&-1\\1&0\end{array}\right)\)

    On pose \(I=\left(\begin{array}{c c c}1&0\\0&1\end{array}\right)\) et \(J=\left(\begin{array}{c c c}0&-1\\1&0\end{array}\right)\).

  2. (3 pts) Calculons le produit de deux éléments de \(F\), \(U=aI+bJ\) et \(V=a'I+b'J\).

    \(UV=(aI+bJ)(a'I+b'J)=aa'I^2+ab'IJ+ba'JI+bb'J^2\)

    \(J^2=\left(\begin{array}{c c c}0&-1\\1&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c c c}0&-1\\1&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c c c}-1&0\\0&-1\end{array}\right)=-I\)

    d'où \(UV=(aa'-bb')I+(ab'+ba')J\).

    Le produit \(UV\) est bien élément de \(F\) et, de même \(VU=(a'a-b'b)I+(a'b+b'a)J\).

    D'où \(UV=VU\) : le produit matriciel est commutatif dans \(F\).

  3. (5 pts) Calculons le produit \(UU'=(aI+bJ)(aI-bJ)\).

    \(UU'=U'U=(a^2+b^2)I+(ab-ba)J=(a^2+b^2)I\)

    D'où, si \((a^2+b^2)\ne0\), c'est-à-dire si la matrice \(U\) est différente de la matrice nulle : \(U\left(\frac1{a^2+b^2}U'\right)=\left(\frac1{a^2+b^2}U'\right)U=I\).

    La matrice \(U\) est donc inversible et \(U^{-1}=\frac1{a^2+b^2}U'=\frac a{a^2+b^2}I-\frac b{a^2+b^2}J\).

    \(U^{-1}\) est aussi un élément de \(F\).

Remarque

On peut noter la "ressemblance" entre l'ensemble \(F\) muni des lois d'addition et de multiplication matricielles, et l'ensemble \(\mathbb C\) des nombres complexes muni de l'addition et de la multiplication usuelles. En fait, il y a bijection entre ces deux ensembles.

En effet, si on considère l'application \(\phi\) de \(F\) vers \(\mathbb C\) définie par : \(U=\left(\begin{array}{c c c}a&-b\\b&a\end{array}\right)\rightarrow\phi(U)=a+ib\)

Il est clair que cette application est une bijection de \(F\) sur \(\mathbb C\).

De plus, si \(U=\left(\begin{array}{c c c}a&-b\\b&a\end{array}\right)\) et \(V=\left(\begin{array}{c c c}a'&-b'\\b'&a'\end{array}\right)\) sont deux matrices de \(F\), on a :

\(U+V=\left(\begin{array}{c c c}a+a'&-(b+b')\\b+b'&a+a'\end{array}\right)\) et \(UV=\left(\begin{array}{c c c}aa'-bb'&-(ab'+ba')\\ab'+ba'&aa'-bb'\end{array}\right)\)

Donc

(1)\(\phi(U+V)=(a+a')+i(b+b')=(a+ib)+(a'+ib')=\phi(U)+\phi(V)\)

\((2)\phi(UV)=(a+a')+i(ab'+ba')=(a+ib)(a'+ib')=\phi(U)\phi(V)\)

Les propriétés vérifiées par l'addition et la multiplication dans \(F\) peuvent être résumées en disant que \(F\) a une "structure" de corps, comme l'ensemble \(\mathbb C\) des nombres complexes.

Alors les propriétés (1) et (2) signifient que \(\phi\) est un isomorphisme entre le corps \(F\) et le corps des nombres complexes \(\mathbb C\).