Inverse d'une matrice carrée vérifiant une relation polyômiale
Durée : 10 mn
Note maximale : 10
Question
On considère \(N\) une matrice carrée d'ordre \(n\) telle \(N^3=O\), et on appelle \(A\) la matrice \(A=N-I\) où \(O\) et \(I\) désignent respectivement la matrice nulle et la matrice unité de \(M_n(R)\).
Démontrer que la matrice \(A\) vérifie une relation polynômiale et en déduire qu'elle est inversible.
Démontrer que, d'une manière générale, si la matrice \(N\) est nilpotente, c'est-à-dire s'il existe un entier \(p\) supérieur ou égal à 2 tel que \(N^p=O\), alors la matrice \(A=N-I\) est inversible.
Solution
(5 pts) De la définition de \(A\) on déduit que \(N=A+I\), puis, en utilisant l'hypothèse sur la matrice \(N\), on obtient la relation : \((A+I)^3=0\).
Les matrices \(A\) et \(I\) commutent, on peut donc utiliser la formule du binôme de Newton pour ces matrices. D'où, en développant : \(A^3+C_3^1A^2I+C_3^2AI^2+I^3=0\).
La matrice \(A\) vérifie donc la relation polynômiale : \(A^3+3A^2+3A+I=0\).
On peut utiliser cette relation pour démontrer que \(A\) est inversible en montrant l'existence d'une matrice \(A'\) telle que \(AA'=A'A=I\).
\(-A^3-3A^2-3A=I\)
En mettant \(A\) en facteur, à droite ou à gauche dans le premier membre on obtient :
\((-A^2-3A-3I)A=A(-A^2-3A-3I)=I\).
D'où, \(A\) est inversible et sa matrice inverse est \(A^{-1}=-A^2-3A-3I\).
(5 pts) On utilise le même raisonnement dans le cas général.
La matrice \(A\) vérifie la relation : \((A+I)^p=0\).
En appliquant la formule du binôme de Newton pour ces matrices qui commutent, on obtient la relation :
\(\displaystyle{\sum_{k=0}^p}C_p^kA^{p-k)I^k=0\).
D'où \(A^p+C_p^1A^{p-1}+...+C_p^{p-1}A+I=0\).
En procédant de façon analogue à la question 1) on obtient :
\((-A^{p-1}-C_p^1A^{p-2}-...-C_p^{p-1}I)A=A(-A^{p-1}-C_p^1A^{p-2}-...-C_p^{p-1}I)=I\)
La matrice \(A\) est donc inversible et son inverse est : \(A^{-1}=-A^{p-1}-C^1_pA^{p-2}-...-C_p^{p-1}I\).
Remarque : Remarque 1
La matrice \(A^{-1}\) s'exprime par une relation polynômiale en \(A\).
Remarque :
On peut démontrer de la même manière que si la matrice \(N\) est nilpotente alors \(A=N+I\) est inversible.