Réduction d'une matrice
Partie
Soit la matrice \(A=\left(\begin{array}{cccc}1&2&4&4\\1&3&2&6\\2&5&6&10\end{array}\right)\)
Question
Trouver, en utilisant une démarche algorithmique, un entier \(r\), des matrices \(P\) et \(Q\), produits de matrices élémentaires tels que : \(1\le r\le3,P\in M_3(R),Q\in M_4(R),PAQ=\left(\begin{array}{cc}I_r&O_{r,4-r}\\O_{3-r,r}&O_{3-r,4-r}\end{array}\right)\)
On ne demande pas les valeurs explicites de \(P\) et \(Q\).
Aide simple
Soient \(p\) et \(n\) des entiers supérieurs ou égaux à 1 et A une matrice de \(M_{n,p}(K)\), non nulle.
Alors, il existe un entier \(r\), \(1\le r\le p\) et \(1\le r\le n\), et deux matrices \(P\) et \(Q\), telles que :
les matrices \(P\) et \(Q\), appartiennent respectivement à \(M_n(K)\) et \(M_p(K)\) et sont des produits de matrices élémentaires,
on ait l'égalité \(PAQ=\left(\begin{array}{cc}I_r&O_{r,p-r}\\O_{n-r,r}&O_{n-r, p-r}\end{array}\right)\)
Aide à la lecture
Le texte demande des matrices \(P\) et \(Q\), produits de matrices élémentaires. Il faut donc utiliser les transformations élémentaires des matrices interprétées comme résultats du produit à droite ou à gauche par des matrices élémentaires.
Aide méthodologique
Utiliser les étapes décrites dans la démarche algorithmique du cours sur les transformations élémentaires des matrices
Solution détaillée
En regroupant les diverses transformations on obtient \(\underbrace{[T_{3,2}(-1)T_{3,1}(-2)T_{2,1}(-1)]}_PA\underbrace{[T_{1,2}(-2)T_{1,3}(-4)T_{1,4}(-4)T_{2,3}(2)T_{2,4}(-2)]}_{Q}=\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right)\)
L'entier \(r=2\) convient, ainsi que les matrices \(P=T_{3,2}(-1)T_{3,1}(-2)T_{2,1}(-1)\) et \(Q=T_{1,2}(-2)T_{1,3}(-4)T_{1,4}(-4)T_{2,3}(2)T_{2,4}(-2)\).
Question
Soit \(M=\left(\begin{array}{cccc}a_1&b_1&c_1&d_1\\ a_2&b_2&c_2&d_2\\ a_3&b_3&c_3&d_3\\ a_4&b_4&c_4&d_4\end{array}\right)\) une matrice quelconque de \(M_4(R)\), effectuer le produit matriciel \(NM\), où \(N=\left(\begin{array}{cc}I_r&O_{r,4-r}\\O_{3-r,r}&O_{3-r,4-r}\end{array}\right)\) matrice trouvée à la question précédente.
En déduire une matrice carrée \(M_0\), non nulle, possédant le plus grand nombre possible de coefficients égaux à 1, vérifiant \(NM_0=O_{3,4}\).
Aide simple
Soient \(p\) et \(n\) des entiers supérieurs ou égaux à 1 et A une matrice de \(M_{n,p}(K)\), non nulle.
Alors, il existe un entier \(r\), \(1\le r\le p\) et \(1\le r\le n\), et deux matrices \(P\) et \(Q\), telles que :
les matrices \(P\) et \(Q\), appartiennent respectivement à \(M_n(K)\) et \(M_p(K)\) et sont des produits de matrices élémentaires,
on ait l'égalité \(PAQ=\left(\begin{array}{ll}I_r&O_{r,p-r}\\O_{n-r,r}&O_{n-r, p-r}\end{array}\right)\)
Aide à la lecture
Le texte demande des matrices \(P\) et \(Q\), produits de matrices élémentaires. Il faut donc utiliser les transformations élémentaires des matrices interprétées comme résultats du produit à droite ou à gauche par des matrices élémentaires.
Aide méthodologique
Utiliser les étapes décrites dans la démarche algorithmique du cours sur les transformations élémentaires des matrices
Solution détaillée
\(NM=\left(\begin{array}{cccccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccccc}a_1&b_1&c_1&d_1\\a_2&b_2&c_2&d_2\\a_3&b_3&c_3&d_3\\a_4&b_4&c_4&d_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}a_1&b_1&c_1&d_1\\a_2&b_2&c_2&d_2\\0&0&0&0\end{array}\right)\)
On constate donc que si la matrice \(M\) a ses deux premières lignes nulles le produit \(NM\) sera nul. Prenons tous les autres coefficients égaux à 1 \(M_0=\left(\begin{array}{ccccc}0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&1&1&1\\1&1&1&1\end{array}\right)\) alors \(M_0\ne O_4\) et \(NM_0=O_{3,4}\).
Question
Soit la matrice produit \(B=QM_0\), sans effectuer de calculs explicites de produits matriciels, montrer que \(B\ne O_4\) et \(AB=O_{3,4}\).
En utilisant une démarche algorithmique, calculer les coefficients de \(B\).
Aide simple
Soient \(p\) et \(n\) des entiers supérieurs ou égaux à 1 et A une matrice de \(M_{n,p}(K)\), non nulle.
Alors, il existe un entier \(r\), \(1\le r\le p\) et \(1\le r\le n\), et deux matrices \(P\) et \(Q\), telles que :
les matrices \(P\) et \(Q\), appartiennent respectivement à \(M_n(K)\) et \(M_p(K)\) et sont des produits de matrices élémentaires,
on ait l'égalité \(PAQ=\left(\begin{array}{cc}I_r&O_{r,p-r}\\O_{n-r,r}&O_{n-r, p-r}\end{array}\right)\)
Aide à la lecture
Le texte demande des matrices \(P\) et \(Q\), produits de matrices élémentaires. Il faut donc utiliser les transformations élémentaires des matrices interprétées comme résultats du produit à droite ou à gauche par des matrices élémentaires.
Aide méthodologique
Utiliser les étapes décrites dans la démarche algorithmique du cours sur les transformations élémentaires des matrices
Solution détaillée
En raisonnant par l'absurde, si on suppose \(B=O_4\) alors \(QM_0=O_4\) et la matrice \(Q\) étant inversible, \(M_0=Q^{-1}O_4=O_4\), ce qui est faux. D'où \(B\ne O_4\).
Par construction \(NM_0=O_{3,4}\) donc \((PAQ)M_0=O_{3,4}\) puis \(PA(QM_0)=O_{3,4}\), c'est-à-dire \(PAB=O_{3,4}\). Or la matrice \(P\) est inversible d'où \(AB=P^{-1}O_{3,4}=O_{3,4}\).
Par définition \(B=QM_0\) donc \(B=[T_{1,2}(-2)T_{1,3}(-4)T_{1,4}(-4)T_{2,3}(2)T_{2,4}(-2)]M_0\).
Ainsi \(B\) peut être déduit de \(M_0\) par des transformations élémentaires sur les lignes.
Remarque :
On a donc construit une matrice "annulatrice à droite" de \(A\) (\(B\) carrée, d'ordre 4, non nulle et \(AB=0\)) ; bien sûr \(B\) n'est pas unique, à partir de toute matrice carrée, d'ordre 4, non nulle, ayant ses deux premières lignes nulles, on peut construire une matrice "annulatrice à droite" de \(A\).