Matrice et applications linéaires

Dans tout ce qui précède, les deux espaces vectoriels de type fini \(E\) et \(\mathcal F\) sont des données de l'étude. On s'intéresse aux applications linéaires de \(E\) dans \(\mathcal F\), et on leur associe dans des conditions bien précises des matrices. Cela permet d'obtenir un isomorphisme d'espace vectoriel entre \(\mathcal L(E,\mathcal F)\) et \(\mathcal M_{\textrm{dimF,dimE}}(\mathbf K)\).

La problématique de ce paragraphe n'est pas la même. On part d'une matrice \(\mathcal M\) à \(n\) lignes et \(p\) colonnes à coefficients dans un corps \(\mathbf K\) et l'on se pose la question suivante :

Existent-ils des espaces vectoriels \(E\) et\( \mathcal F\) sur \(\mathcal K\), des bases et sur \(E\) et \(\mathcal F\) respectivement, et une application linéaire de \(E\) dans \(\mathcal F\) tels que \(\mathcal M=[\psi]_{B_E}^{B_F}\)?