Résolution du problème et convention
Il est possible de donner plusieurs réponses à cette question. Celle qui est développée dans ce qui suit est la réponse classique que nous prendrons systématiquement quand nous serons dans cette problématique.
Soit donc \(\mathcal M\) un élément de \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\). On a des choix successifs :
Des espaces vectoriels :
Si on a une réponse au problème, on sait, d'après tout ce qui précède, que le nombre de lignes de\( \mathcal M\) est égal à la dimension de l'espace d'arrivée de l'application linéaire et que le nombre de colonnes est la dimension de son espace de départ.
Donc on fait les choix suivants :
\(E=\mathbf K^p\) et\( \mathcal F=\mathbf K^n\)
Les bases :
De manière naturelle, on choisit les bases canoniques sur chacun de ces espaces.
Elles sont notées\( \mathcal B_{\mathbf K^p}\) et \(\mathcal B_{\mathbf K^n}\).
Une application linéaire :
En se basant sur les résultats des parties précédentes, l'application linéaire \(\psi\) est définie de la manière suivante :
\(\psi\) est l'application linéaire de \(E=\mathbf K^p\) dans dont \(\mathcal F=\mathbf K^n\) la matrice par rapport aux bases canoniques est égale à \(\mathcal M\).
On a donc apporté une réponse au problème posé.
Remarque :
les deux premiers choix étant faits (espaces vectoriels et bases sur chacun de ces espaces vectoriels), on n'a aucun choix pour l'application linéaire \(\psi\).
Exemple :
Soit \(\mathcal M=\left(\begin{array}{cccccc}1&3&6\\2&4&0\end{array}\right)\) .
La matrice \(\mathcal M\) peut être considérée comme la matrice de l'application linéaire \(\psi\) de\( \mathbf R^3\) dans , \(\mathbf R^2\) chaque espace étant muni de sa base canonique\( \mathcal B_{\mathbf R^3}=(e_1,e_2,e_3)\) et \(\mathcal B_{\mathbf R^2}=(f_1,f_2)\) .
Donc \(\mathcal M=[\psi]_{\mathcal B_{\mathbf R^3}}^{\mathcal B_{\mathbf R^2}}.\psi(e_1)=f_1+2f_2,\psi(e_2)=3f_1+4f_2\textrm{ et }\psi(e_3)=6f_1\) .
Cela détermine entièrement \(\psi\).
En effet cela donne pour tout \((x,y,z)\in\mathcal R^3,\psi(x,y,z)=(x+3y+6z,2x+4y)\) .
Donc pour étudier les propriétés de \(\psi\) on peut étudier les propriétés de \(\mathcal M\) ou inversement, en prenant le point de vue qui dans la situation considérée conduit à la solution la plus simple.
En conclusion, suivant qu'un problème est plus facile à résoudre en termes de matrice ou d'application linéaire on choisit de le résoudre suivant l'un ou l'autre des points de vue. Ce procédé est extrêmement riche et a de nombreuses applications, par exemple l'étude de propriétés qualitatives du rang d'une matrice.