Matrice associée à la composée de deux applications linéaires

Soient et trois espaces vectoriels de type fini sur un même corps . Soient une application linéaire de dans et une application linéaire de dans . Pour pouvoir considérer les matrices associées à et , il est nécessaire de choisir des bases sur .

Soient donc la dimension de et une base de la dimension de et une base de et enfin la dimension de et une base de .

On est donc dans le schéma suivant :

De manière naturelle, on cherche à déterminer la matrice associée à par rapport aux bases de et respectivement. On obtient le résultat suivant

Théorème : Matrice associée à la composée de deux applications linéaires

Soient et trois espaces vectoriels de type fini sur un même corps , de dimension respectivement égale à .

Soient une base de , une base de et une base de .

Soient une application linéaire de dans et une application linéaire de dans .

Alors on a :

Commentaires
  1. Autrement dit, à condition de bien choisir les bases, la matrice associée à la composition de deux applications linéaires est le produit des matrices associées à chacune d'elle, dans le même ordre.

  2. Cela justifie, à posteriori, les conditions d'existence et la définition du produit des matrices.

    En effet, pour que le produit de deux matrices et ait un sens, il faut que le nombre de colonnes de la matrice soit égal au nombre de lignes de la matrice .

    Si, avec les notations introduites ci-dessus, et , cette condition est satisfaite, puisque le nombre de colonnes de est égal à la dimension de l'espace et qu'il en est de même pour le nombre de lignes de la matrice .

    Remarquons que l'hypothèse : " l'espace d'arrivée de est égal à l'espace de départ de " est une condition nécessaire et suffisante pour que la composée existe.

    Enfin la définition explicite du produit de deux matrices a été choisie pour avoir cette relation entre composée d'applications linéaires et produit de matrices.

Démonstration

Un peu lourde quant aux notations, cette preuve est pourtant simple quant aux idées car elle est uniquement basée sur la définition de la matrice associée à une application linéaire par rapport à des bases choisies, et sur la définition du produit de deux matrices.

La première étape consiste à fixer les notations

Soit et , les coefficients et sont caractérisés par les égalités suivantes :

La deuxième étape consiste à chercher la matrice associée à par rapport aux bases et

Il s'agit donc d'exprimer, pour tout dans la base

car le terme de la -ième ligne, -ième colonne de la matrice cherchée est la coordonnée de sur le vecteur .

Les relations (1), implique :

 D'où, en utilisant les relations (2), on a pour tout .

Les propriétés des lois d'un espace vectoriel, permettent d'écrire :

Le coefficient de sur le vecteur de la base est donc égal à

(puisque les coefficients sont dans un corps commutatif).

On reconnaît là exactement le terme général de la matrice , ce qui achève la démonstration

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