Matrice et applications linéaires

Soient les espaces vectoriels \(E=\mathbf R^2,\mathcal F=\mathbf R^3\) et \(\mathcal G=\mathbf R\) .

Soient \(\mathcal B_E=(e_1,e_2), \mathcal B_F=(f_1,f_2,f_3)\) et \(\mathcal B_G=(g_1)\) leurs bases canoniques respectives.

Soit \(\phi\) l'application linéaire de \(E\) dan \(\mathcal F\) telle que \([\psi]_{\mathcal B_E}^{\mathcal B_F}=\left(\begin{array}{cccccc}1&0\\1&1\\0&7\end{array}\right)\) et \(\psi\) l'application linéaire de \(\mathcal F\) dans \(\mathcal G\) telle que \([\psi]_{\mathcal B_E}^{\mathcal B_F}=(1\quad0\quad0)\).

On se propose de déterminer\( \psi\circ\phi\) , application linéaire de \(E=\mathbf R^2\) dans\( \mathbf R\).

Pour cela, il suffit de déterminer sa matrice par rapport aux bases canoniques \(\mathcal B_E=(e_1,e_2)\) et \(\mathcal B_G=(g_1)\).

D'après le théorème précédent, on a

\([\psi\circ\phi]_{\mathcal B_E}^{\mathcal B_G}=[\psi]_{\mathcal B_F}^{\mathcal B_G}[\phi]_{\mathcal B_E}^{\mathcal B_F}\)

Donc \(\mathcal M(\psi\circ\phi,\mathcal B_E,\mathcal B_G)=(1\quad0\quad0)\left(\begin{array}{cccccc}1&0\\1&1\\0&7\end{array}\right)(1\quad0)\)

Cela signifie que \(\psi\circ\phi(e_1)=g_1\) et \(\psi\circ\phi(e_2)=0\).

D'où l'expression de \(\psi\circ\phi\):

\(\forall(x,y)\in\mathbf R^2,\quad(\psi\circ\phi)((x,y))=x\)

Cet exemple met bien en évidence le gain, en termes de quantité de calculs, réalisé en passant par l'intermédiaire des matrices.