Propriété caractéristique de la matrice associée à un automorphisme dans une base choisie
On va caractériser le fait d'être bijectif pour un endomorphisme, par une propriété de sa matrice dans une base choisie. C'est une simple application des résultats de l'étude des isomorphismes entre deux espaces vectoriels de même dimension. Cette dernière hypothèse est évidemment réalisée dès que l'on considère une application linéaire d'un espace de type fini dans lui-même.
On a donc la propriété suivante :
Théorème :
Soit \(E\) un \(\mathbf K\)-espace vectoriel de type fini.
Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une application linéaire \(f\) de\( E\) dans \(E\) soit un automorphisme est que la matrice associée à\( f\) dans une base quelconque de \(E\) soit inversible.
De plus, si \(f\) est un automorphisme de\( E\) et si \(\mathcal A=[f]_{\mathcal B_E}\) , la matrice de\( f^{-1}\) dans la base\( \mathcal B_E\) est égale à \(\mathcal A^{-1}\), inverse de la matrice \(\mathcal A\).
Cela s'écrit :
\(([f]_{\mathcal B_E})^{-1}=[f^{-1}]_{\mathcal B_E}\)