Endomorphisme du R-espace vectoriel C
Durée : 10 mn
Note maximale : 5
Question
On considère le R-espace vectoriel C des nombres complexes, muni de sa base usuelle \(B=(1,i)\).
Soit \(u=a+ib,(a,b)\in R^2\) , un nombre complexe fixé non nul.
Montrer que l'application \(\phi\) de C dans C définie pour tout nombre complexe \(z\) par \(\phi(z)=uz\), est une application linéaire et déterminer sa matrice dans la base \(B\).
Solution
Soient \(z\) et \(z'\) deux nombres complexes, \(\alpha\) et \(\alpha'\) deux nombres réels (en effet C est ici considéré avec sa structure d'espace vectoriel sur R) ; alors \(\phi(\alpha z+\alpha'z')=u(\alpha z+\alpha'z')=\alpha uz+\alpha'uz'=\alpha\phi(z)+\alpha'\phi(z')\).
L'application \(\phi\) est bien une application linéaire du R-espace vectoriel C dans lui-même.
Le R-espace vectoriel C est de dimension égale à 2, donc la matrice associée à \(\phi\) relativement à \(B\) est une matrice carrée d'ordre 2, dont les colonnes sont formées par les coordonnées des images par \(\phi\) des vecteurs de la base.
On a \(\phi(1)=u\times1=u=a+bi\) et \(\phi(i)=ui=(a+ib)i=-b+ai\).
Donc la matrice de \(\phi\) dans la base \(B\) est : \(\left(\begin{array}{c c c}a&-b\\b&a\end{array}\right)\).