Espaces de polynômes
Durée : 20 mn
Note maximale : 10
Question
Soit \(P_n\) l'espace vectoriel des fonctions polynômes réelles de degré inférieur ou égal à \(n\)
\((x\mapsto a_0+a_1x+...+a_nx^n)\), muni de sa base \(B_n=(e_0,e_1,e_2,...,e_n)\) où \(e_0\) est la fonction \(x\mapsto1\), et \(e_i\) est la fonction \(x\mapsto x^i\), pour tout \(i\) compris entre 1 et \(n\).
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 2, et soit \(p\) appartenant à \(P_n\).
Vérifier que \(p'+p''\) appartient à \(P_{n-1}\).
On considère l'application linéaire \(\phi\) de \(P_3\) dans \(P_2\) définie par \(\phi(p)=p'+p''\), (\(p'\) étant la dérivée première de \(p\) et \(p''\) sa dérivée seconde).
a) Déterminer la matrice associée à \(\phi\) relativement aux bases \(B_3\) de \(P_3\) et \(B_2\) de \(P_2\).
b) Soit \(q\) la fonction polynôme définie pour tout réel \(x\) par \(q(x)=1+x+x^2+x^3\).
Vérifier que \(Q_3=(q,q',q'',q''')\) est une base de \(P_3\) et que \(Q_2=(q',q'',q''')\) est une base de \(P_2\).
c) Quelle est la matrice de \(\phi\) relativement aux bases \(Q_3\) et \(Q_2\).
Solution
(1 pt)
Si \(p\) est une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à \(n\), sa dérivée première \(p'\) est une fonction polynômiale de degré inférieur ou égal à \(n-1\), sa dérivée seconde est une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à \(n-2\), donc \(p'+p''\) est une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à \(n-1\). Donc \(p'+p''\) appartient à \(P_{n-1}\).
a) (4 pts)
L'espace vectoriel \(P_3\) est de dimension 4, et l'espace vectoriel \(P_2\) est de dimension 3, donc la matrice associée à \(\phi\) relativement aux bases \(B_3\) de \(P_3\) et \(B_2\) de \(P_2\) est une matrice à 3 lignes et 4 colonnes dont la \(k\)-ième colonne est formée \((1\le k\le4)\) par les coordonnées de \(\phi(e_{k-1})\) dans la base \(B_2\).
On calcule donc les \(\phi(e_t)\), \(0\le t\le3\) :
\(e_0:x\mapsto1\) donc \(e^'_0 :x\mapsto0\) et \(e^''_0:x\mapsto0\) d'où
\(\phi(e_0)=e^'_0+e^''_0=0=0e_0+0e_1+0e_2\)
\(e_1:x\mapsto x\) donc \(e^'_1 :x\mapsto1\) et \(e^''_1:x\mapsto0\) d'où
\(\phi(e_1)=e^'_1+e^''_1=e_0=1e_0+0e_1+0e_2\)
\(e_2:x\mapsto x^2\) donc \(e^'_2 :x\mapsto2x\) et \(e^''_2:x\mapsto2\) d'où
\(\phi(e_2)=2e_1+2e_0=2e_0+2e_1+2e_2\)
\(e_3:x\mapsto x^3\) donc \(e^'_3 :x\mapsto3x^2\) et \(e^''_3:x\mapsto6x\) d'où
\(\phi(e_3)=3e_2+6e_1=0e_0+6e_1+3e_2\)
D'où \(\mathrm{Mat}_{B_3}^{B_2}(\phi)=\left(\begin{array}{c c c}0&1&2&0\\0&0&2&6\\0&0&0&3\end{array}\right)\).
b) (2 pts)
Les fonctions \(q,q',q'',q'''\) sont définies par \(q:x\mapsto1+x+x^2+x^3, q':x\mapsto1+2x+3x^2\), \(q'':x\mapsto2+6x\) et \(q''':x\mapsto6\).
On remarque que \(q=e_0+e_1+e_2+e_3, q'=e_0+2e_1+3e_2, q''=2e_0+6e_1\) et \(q'''=6e_0\).
On vérifie que les vecteurs \(q,q',q'',q'''\) forment une famille libre :
en effet soient \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\) quatre réels tels que \(\alpha q+\beta q'+\gamma q''+\delta q'''=0\), alors
\(\alpha q+\beta q'+\gamma q''+\delta q'''=(\alpha+\beta+2\gamma+6\delta)e_0+(\alpha+2\beta+6\gamma)e_1+(\alpha+3\beta)e_2+6\alpha e_3=0\)
or \(\{e_0,e_1,e_2,e_3\}\) est une famille libre donc on déduit aussitôt \(\alpha=\beta=\delta=0\).
Donc les vecteurs \(q,q',q'',q'''\) forment une famille libre de 4 vecteurs dans l'espace vectoriel \(P_3\) de dimension 4 donc \(Q_3=(q,q',q'',q''')\) est une base de \(P_3\).
On en déduit que \(q',q'',q'''\) forment une famille libre de 3 vecteurs dans l'espace vectoriel \(P_2\) de dimension 3 donc \(Q_2=(q',q'',q''')\) est une base de \(P_2\).
c) (3 pts)
On détermine la matrice de \(\phi\) relativement aux bases \(Q_3\) et \(Q_2\) :
\(\phi(q)=q'+q''=1q'+1q''+0q'''\),
\(\phi(q')=q''+q'''=0q'+1q''+1q'''\),
\(\phi(q'')=q'''=0q'+0q''+1q'''\) car la dérivée quatrième de \(q\) est nulle.
Comme sa dérivée cinquième est nulle aussi, on obtient \(\phi(q''')=0=0q'+0q''+0q'''\).
On a alors
\(\mathrm{Mat}_{Q_3}^{Q_2}(\phi)=\left(\begin{array}{c c c}1&0&0&0\\1&1&0&0\\0&1&1&0\end{array}\right)\)