Matrice d'un endomorphisme dans une base adaptée
Durée : 15 mn
Note maximale : 20
Question
Soit l'espace vectoriel réel \(E\), muni d'une base \(\mathcal B=(e_1,e_2,e_3)\) ; on note \(f\) l'endomorphisme de \(E\) donné par sa matrice \(A\) relativement à la base \(\mathcal B,A=\left(\begin{array}{c c c}2&-1&1\\0&1&0\\1&-1&2\end{array}\right)\).
On considère les vecteurs \(a_1=e_1-e_3,a_2=e_2+e_3,a_3=e_1+e_3\).
a) Montrer que \(\mathcal B'=(a_1,a_2,a_3)\) est une base de \(E\).
b) Trouver la matrice de passage de \(\mathcal B\) à \(\mathcal B'\) puis celle de \(\mathcal B'\) à \(\mathcal B\).
Calculer \(A'\) la matrice de f relativement à la base \(\mathcal B'\).
Solution
a) (4 pts)
La base \(\mathcal B\) étant constituée de trois vecteurs, la dimension de \(E\) est 3 et toute famille libre de 3 vecteurs détermine une base. Vérifions que les vecteurs \(a_1,a_2,a_3\), sont linéairement indépendants.
Soient trois scalaires \(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\) tels que \(\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\lambda_3a_3=0\),
alors \(\lambda_1(e_1-e_3)+\lambda_2(e_2+e_3)+\lambda_3(e_1+e_3)=0\),
donc \((\lambda_1+\lambda_3)e_1+\lambda_2e_2+(-\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)e_3=0\),
les vecteurs \(e_1,e_2,e_3\) étant linéairement indépendants, les scalaires vérifient le système \(\left\{\begin{array}{cccccc}\lambda_1&&+\lambda_3&=&0\\&\lambda_2&&=&0\\-\lambda_1+&\lambda_2&+\lambda_3&=&0\end{array}\) qui a pour unique solution \(\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0\).
Ceci termine la démonstration du fait que \(\mathcal B'\) est une base de \(E\).
b)
Notons \(P\) la matrice de passage de \(\mathcal B\) à \(\mathcal B'\), par définition ses colonnes sont constituées des coordonnées des vecteurs \(a_i\) sur \(\mathcal B\), ainsi
\(P=P_{\mathcal B,\mathcal B'}=\left(\begin{array}{c c c}1&0&1\\0&1&1\\-1&1&1\end{array}\right)\) (3 pts)
Alors la matrice de passage de \(\mathcal B'\) à \(\mathcal B\) est égale à \(P^{-1}\) et ses colonnes sont constituées des coordonnées des vecteurs \(e_i\) sur \(\mathcal B'\).
\(\left\{\begin{array}{cccccc}e_1&&-e_3=a_1\\&e_2&+e_3=a_2\\e_1&&+e_3=a_3\end{array}\Rightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}e_1&&-e_3&=&a_1\\&e_2&+e_3&=&a_2\\&&2e_3&=&-a_1+a_3\end{array}\)
D'où \(e_3=-\frac{1}2a_1+\frac{1}2a_3,e_2=\frac{1}2a_1+a_2-\frac{1}2a_3,e_1=\frac{1}2a_1+\frac{1}2a_3\) ainsi
\(P^{-1}=P_{\mathcal B',\mathcal B}=\left(\begin{array}{c c c}\frac{1}2&\frac{1}2&-\frac{1}2\\0&1&0\\\frac{1}2&-\frac{1}2&\frac{1}2\end{array}\right)\) (5 pts)
(8 pts)
D'après la formule de changement de base pour un endomorphisme \(A'=P^{-1}AP\),
donc \(A'=\left(\begin{array}{c c c}\frac{1}2&\frac{1}2&-\frac{1}2\\0&1&0\\\frac{1}2&-\frac{1}2&\frac{1}2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c c c}2&-1&1\\0&1&0\\1&-1&2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c c c}1&0&1\\0&1&0\\-1&1&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c c c}\frac{1}2&\frac{1}2&-\frac{1}2\\0&1&0\\\frac{1}2&-\frac{1}2&\frac{1}2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c c c}1&0&3\\0&1&0\\-1&1&3\end{array}\right)\).
\(A'=\left(\begin{array}{c c c}1&0&0\\0&1&0\\0&0&3\end{array}\right)\)