Changer de bases dans des espaces de fonctions polynômes
Durée : 15 mn
Note maximale : 20
Question
Soit l'espace vectoriel \(\mathcal P_1\) des fonctions polynômes de degré au plus 1, muni de la base canonique \(\mathcal B_1=(\phi_0,\phi_1)\) et l'espace vectoriel \(\mathcal P_2\) des fonctions polynômes de degré au plus 2, muni de la base canonique \(\mathcal B_2=(\phi_0,\phi_1,\phi_2)\).
On considère les fonctions \(f_0,f_1,g_0,g_1,g_2\) définies par
\(\forall x\in\mathbb R\quad f_0(x)=1-x,f_1(x)=x\)
\(\forall x\in\mathbb R\quad g_0(x)=(1-x)^2,g_1(x)=x(1-x),g_2(x)=x^2\)
On note \(D\) la dérivation, application linéaire de \(\mathcal P_2\) dans \(\mathcal P_1\).
a. Montrer que \(\mathcal B_3=(f_0,f_1)\) est une base de \(\mathcal P_1\).
b. Montrer que \(\mathcal B_4=(g_0,g_1,g_2)\) est une base de \(\mathcal P_2\).
Trouver la matrice de \(D\) relativement aux bases \(\mathcal B_4\) et \(\mathcal B_3\).
Solution
Remarque : Remarque préliminaire
Les fonctions \(\mathcal P_1\) sont définies par \(\forall x\in\mathbb R\quad\phi_0(x)=1,\phi_1(x)=x,\phi_2(x)=x^2\). Les fonctions \(\phi_0\) et \(\phi_1\), qui déterminent la base canonique de \(\mathcal P_1\), sont aussi des vecteurs de \(\mathcal P_2\). On les complète par \(\phi_2\) pour obtenir la base canonique de \(\mathcal P_2\).
a) (4 pts)
Tout d'abord les fonctions appartiennent à \(f_0,f_1\). L'espace vectoriel \(\mathcal P_1\) est de dimension 2, il suffit donc de vérifier que les vecteurs \(f_0,f_1\) sont linéairement indépendants.
Soient deux réels \(\alpha_0,\alpha_1\) tels que \(\alpha_0f_0+\alpha_1f_1=0\) alors \(\forall x\in\mathbb R\quad\alpha_0(1-x)+\alpha_1x=0\).
En prenant successivement deux valeurs particulières de la variable \(x=0\Rightarrow\alpha_0=0,x=1\Rightarrow\alpha_1=0\).
Conclusion : \(\mathcal B_3=(f_0,f_1)\) est une base de \(\mathcal P_1\).
b) (6 pts)
De même les fonctions \(g_0,g_1,g_2\) appartiennent à \(\mathcal P_2\) et l'espace vectoriel \(\mathcal P_2\) est de dimension 3, il suffit donc de vérifier que les vecteurs \(g_0,g_1,g_2\) sont linéairement indépendants.
Soient trois réels \(\beta_0,\beta_1,\beta_2\) tels que \(\beta_0g_0+\beta_1g_1+\beta_2g_2=0\) alors \(\forall x\in\mathbb R\quad\beta_0(1-x)^2+\beta_1x(1-x)+\beta_2x^2=0\).
En prenant successivement trois valeurs particulières de la variable \(x=0\Rightarrow\beta_0=0\), puis \(x=1\Rightarrow\beta_2=0\), enfin \(x=2\Rightarrow\beta_1=0\).
Conclusion : \(\mathcal B_4=(g_0,g_1,g_2)\) est une base de \(\mathcal P_2\).
(10 pts)
Il est facile de trouver \([D]^{\mathcal B_1}_{\mathcal B_2}\), matrice de \(D\) relativement aux bases \(\mathcal B_2\) et \(\mathcal B_1\) puis grâce à une formule de changement de bases il est possible de calculer \([D]^{\mathcal B_3}_{\mathcal B_4}\). Cette méthode est plus simple que la recherche directe de \([D]^{\mathcal B_3}_{\mathcal B_4}\).
A partir des expressions \(\forall x\in\mathbb R\quad\phi_0(x)=1,\phi_1(x)=x,\phi_2(x)=x^2\),
il est immédiat que \(D(\phi_0)=0,D(\phi_1)=\phi_0,D(\phi_2)=2\phi_1\),
donc \([D]^{\mathcal B_1}_{\mathcal B_2}=\left(\begin{array}{c c c}0&1&0\\0&0&2\end{array}\right)\).
En utilisant la formule de changement de bases, \([D]^{\mathcal B_3}_{\mathcal B_4}=P_{\mathcal B_3,\mathcal B_1}[D]^{\mathcal B_1}_{\mathcal B_2}P_{\mathcal B_2,\mathcal B_4}\).
Or \(g_0=\phi_0-2\phi_1+\phi_2,g_1=\phi_1-\phi_2,g_2=\phi_2\).
Donc \(P_{\mathcal B_2,\mathcal B_4}=\left(\begin{array}{c c c}1&0&0\\-2&1&0\\1&-1&1\end{array}\right)\)
De même \(f_0=\phi_0-\phi_1,f_1=\phi_1\) d'où \(\phi_1=f_1,\phi_0=f_0+f_1\)
Donc \(P_{\mathcal B_3,\mathcal B_1}=\left(\begin{array}{c c}1&0\\1&1\end{array}\right)\)
On obtient
\([D]^{\mathcal B_3}_{\mathcal B_4}=\left(\begin{array}{c c}1&0\\1&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c c c}0&1&0\\0&0&2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c c c}1&0&0\\-2&1&0\\1&-1&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c c c}0&1&0\\0&1&2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c c c}1&0&0\\-2&1&0\\1&-1&1\end{array}\right)\)
\([D]^{\mathcal B_3}_{\mathcal B_4}=\left(\begin{array}{c c c}-2&1&0\\0&-1&2\end{array}\right)\)