Changer de base dans un espace de fonctions polynômes
Partie
Soit \(E\) l'espace vectoriel \(\mathcal P_3\) des fonctions polynômes de degré au plus 2, muni de la base canonique \(\mathcal B(\phi_0,\phi_1,\phi_2)\).
On définit les éléments \(f_0,f_1,f_2\) de \(E\) par
\(\begin{array}{cccccc}f_0 :R&\rightarrow&R\\x&\mapsto&1+x\end{array}\quad\begin{array}{cccccc}f_1 :R&\rightarrow&R\\x&\mapsto&x+x^2\end{array}\quad\begin{array}{cccccc}f_2 :R&\rightarrow&R\\x&\mapsto&x^2\end{array}\)
On appelle \(L\) l'endomorphisme de \(E\) défini par le diagramme :
\(\begin{array}{cccccc}L : E&\rightarrow&E&\\p&\mapsto&q&\forall x\in R,q(x)=p(x)+xp'(x)\end{array}\)
Question
Vérifier que\( \mathcal B'=(f_0,f_1,f_2)\) est une base de \(E\).
Trouver la matrice de passage de \(\mathcal B\) à \(\mathcal B'\) et celle de \(\mathcal B'\) à \(\mathcal B\).
Aide simple
Soit \(E\) un espace vectoriel de type fini et \(\phi\) un endomorphisme de \(E\). Soient \(B_E\) et \(B^{\prime}_E\) deux bases de \(E\) et \(P=P_{B_E,B^\prime_E}\) la matrice de passage de \(B_E\) à \(B^\prime_E\).
Alors, la matrice associée à \(\phi\) par rapport à la base \(B_E\) et la matrice associée à \(\phi\) par rapport à la base \(B^\prime_E\) sont liées par la formule :
\([\phi]_{B^\prime_E}=P^{-1}[\phi]_{B_E}P\)
Aide à la lecture
Les éléments de la base canonique sont
\(\begin{array}{cccccc}\phi_0 :R&\rightarrow&R\\x&\mapsto&1\end{array}\quad\begin{array}{cccccc}\phi_1 :R&\rightarrow&R\\x&\mapsto&x\end{array}\quad\begin{array}{cccccc}\phi_2 :R&\rightarrow&R\\x&\mapsto&x^2\end{array}\)
Aide méthodologique
Calculer \(P_{\mathcal B,\mathcal B'}\), \(P_{\mathcal B',\mathcal B}\).
Solution détaillée
La dimension de l'espace vectoriel \(E\) est 3.
Pour que la famille de 3 éléments \(f_0,f_1,f_2\) détermine une base de \(E\) il suffit donc qu'elle soit libre.
Soit trois réels \(\lambda_0,\lambda_1,\lambda_2\) vérifiant \(\lambda_0f_0+\lambda_1f_1+\lambda_2f_2=0\),
alors \(\lambda_0(\phi_0+\phi_1)+\lambda_1(\phi_1+\phi_2)+\lambda_2\phi_2=0\),
donc \(\lambda_0\phi_0+(\lambda_0+\lambda_1)\phi_1+(\lambda_1+\lambda_2)\phi_2=0\),
or la famille \(\{\phi_0,\phi_1,\phi_2\}\) est libre d'où \(\left\{\begin{array}{llllll}\lambda_0&&&=&0\\\lambda_0&+&\lambda_1&=&0\\&&\lambda_1+\lambda_2&=&0\end{array}\right.\),
finalement \(\lambda_0=\lambda_1=\lambda_2=0\).
Conclusion : \(\mathcal B'=(f_0,f_1,f_2)\) est une base de E.
Des égalités \(f_0=\phi_0+\phi_1,f_1=\phi_1+\phi_2,f_2=\phi_2\) on tire \(P_{\mathcal B,\mathcal B'}=\left(\begin{array}{c c c}1&0&0\\1&1&0\\0&1&1\end{array}\right)\)
et aussi \(\phi_2=f_2,\phi_1=f_1-f_2,\phi_0=f_0-f_1+f_2\), donc \(P_{\mathcal B,\mathcal B'}=\left(\begin{array}{c c c}1&0&0\\-1&1&0\\0&-1&1\end{array}\right)\)
Question
Calculer la matrice associée à \(L\) par rapport à la base canonique puis celle associée à \(L\) par rapport à la base \(\mathcal B'\).
Aide simple
Soit \(E\) un espace vectoriel de type fini et \(\phi\) un endomorphisme de \(E\). Soient \(B_E\) et \(B^{\prime}_E\) deux bases de \(E\) et \(P=P_{B_E,B^\prime_E}\) la matrice de passage de \(B_E\) à \(B^\prime_E\).
Alors, la matrice associée à \(\phi\) par rapport à la base \(B_E\) et la matrice associée à \(\phi\) par rapport à la base \(B^\prime_E\) sont liées par la formule :
\([\phi]_{B^\prime_E}=P^{-1}[\phi]_{B_E}P\)
Aide à la lecture
Les éléments de la base canonique sont
\(\begin{array}{cccccc}\phi_0 :R&\rightarrow&R\\x&\mapsto&1\end{array}\quad\begin{array}{cccccc}\phi_1 :R&\rightarrow&R\\x&\mapsto&x\end{array}\quad\begin{array}{cccccc}\phi_2 :R&\rightarrow&R\\x&\mapsto&x^2\end{array}\)
Aide méthodologique
Après avoir calculé \(A=[L]_\mathcal B\), utiliser la formule de changement de base pour trouver \(A'=[L]_\mathcal B'\).
Solution détaillée
Notons \(\psi_i=L(\phi_i)\quad(0\le i\le2)\)
\(\forall x\in R\quad\psi_0(x)=1+0\Rightarrow L(\phi_0)=\phi_0\)
\(\forall x\in R\quad\psi_1(x)=x+x\Rightarrow L(\phi_1)=2\phi_1\)
\(\forall x\in R\quad\psi_2(x)=x^2+2x^2\Rightarrow L(\phi_2)=3\phi_2\)
d'où \(A=[L]_\mathcal B=\left(\begin{array}{c c c}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{array}\right)\)
En appliquant la formule de changement de base \([L]_\mathcal B'=P_{\mathcal B',\mathcal B}[L]_\mathcal BP_{\mathcal B,\mathcal B'}\), on obtient :
\(A'=[L]_\mathcal B'=\left(\begin{array}{c c c}1&0&0\\-1&1&0\\0&-1&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c c c}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c c c}1&0&0\\1&1&0\\0&1&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c c c}1&0&0\\-1&1&0\\1&-1&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c c c}1&0&0\\2&2&0\\0&3&3\end{array}\right)\)
\(A'=[L]_\mathcal B'=\left(\begin{array}{c c c}1&0&0\\1&2&0\\-1&1&3\end{array}\right)\)