Mathématiques
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Résumé des notions et résultats étudiés dans cette ressource
Définition : Définition du rang d'une matrice

Soit une matrice à lignes et colonnes, de terme général appartenant à . Les vecteurs colonnes de sont notées . Ce sont des vecteurs de .

On appelle rang de la dimension du sous-espace vectoriel de engendré par .

Conservation du rang par opérations sur les colonnes

Soient et deux entiers supérieurs ou égaux à , et une matrice appartenant à .

Alors les matrices et est un produit de matrices élémentaires d'ordre ont le même rang.

Ce résultat nécessite de connaître les opérations élémentaires sur les matrices.

Lien entre rang de matrice, rang d'une application linéaire et matrices équivalentes

Soient et deux espaces de type fini sur un même corps et une application linéaire de dans . Soient et des bases de et respectivement.

Si est la matrice associée à par rapport à ces bases, le rang de la matrice est égal au rang de l'application linéaire , et toutes les matrices associées à une même application linéaire ont même rang.

"Modèle" des matrices de rang r, rang et matrices équivalentes

Soit et des entiers supérieurs ou égaux à . Soit un entier supérieur à et inférieur ou égal à et à .

Une matrice non nulle de est de rang si et seulement si elle est équivalente à la matrice de définie par :

Deux matrices de même type ont le même rang si et seulement si elles sont équivalentes.

Rang de la transposée d'une matrice

Soit une matrice de . Les matrices et ont même rang.

Il en résulte que le rang de est la dimension du sous-espace de engendré par les vecteurs lignes de .

Matrice inversible et rang

Une matrice carrée d'ordre est inversible si et seulement si elle est de rang .

Caractérisation du rang d'une matrice à l'aide des matrices extraites inversibles

Soit une matrice de . Le rang de est égal au plus grand des ordres des matrices carrées inversibles extraites de cette matrice.

Rappel

Soient et deux entiers tels que et . Une matrice obtenue en supprimant lignes et colonnes est appelée matrice extraite (ou sous-matrice) de . C'est un élément de .

Ces résultats nécessitent de connaître la notion d'application linéaire et de matrice associée à une application linéaire et toutes les propriétés afférentes.. Par contre elle ne font aucunement intervenir la notion d'opérations élémentaires sur les matrices.

"Modèle" des matrices de rang r et matrices élémentaires

Soit et des entiers supérieurs ou égaux à et une matrice de , non nulle.

Alors, il existe un unique entier , supérieur ou égal à , et inférieur ou égal à et à , et deux matrices et , tels que :

  • est le rang de

  • les matrices et , appartiennent respectivement à et et sont des produits de matrices élémentaires

  • on ait l'égalité :

    Ce résultat nécessite de connaître la notion d'application linéaire, de matrice associée à une application linéaire et toutes les propriétés afférentes ainsi que la "réduction des matrices" à l'aide des opérations élémentaires.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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