Résumé des notions et résultats étudiés dans cette ressource
Définition : Définition du rang d'une matrice
Soit \(\mathcal A\) une matrice à \(n\) lignes et\( p\) colonnes, de terme général \(a_{i,j}\) appartenant à \(\mathbf K\). Les vecteurs colonnes de \(\mathcal A\) sont notées \(C_1,C_2,\cdots,C_p\). Ce sont des vecteurs de \(\mathbf K^n\).
On appelle rang de \(\mathcal A\) la dimension du sous-espace vectoriel de\( \mathbf K^n\) engendré par \(C_1,C_2,\cdots,C_p\).
Conservation du rang par opérations sur les colonnes
Soient \(n\) et \(p\) deux entiers supérieurs ou égaux à \(2\), et \(\mathcal M\) une matrice appartenant à \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\).
Alors les matrices \(\mathcal M\) et \(\mathcal{MP}\) où \(\mathcal P\) est un produit de matrices élémentaires d'ordre \(p\) ont le même rang.
Ce résultat nécessite de connaître les opérations élémentaires sur les matrices.
Lien entre rang de matrice, rang d'une application linéaire et matrices équivalentes
Soient \(E\) et \(\mathcal F\) deux espaces de type fini sur un même corps\( \mathbf K\) et \(f\) une application linéaire de \(E\) dans \(\mathcal F\). Soient \(\mathcal B_E\) et \(\mathcal B_F\) des bases de \(E\) et \(\mathcal F\) respectivement.
Si \(\mathcal M\) est la matrice associée à \(f\) par rapport à ces bases, le rang de la matrice \(\mathcal M\) est égal au rang de l'application linéaire \(f\), et toutes les matrices associées à une même application linéaire ont même rang.
"Modèle" des matrices de rang r, rang et matrices équivalentes
Soit \(p\) et \(n\) des entiers supérieurs ou égaux à \(1\). Soit \(r\) un entier supérieur à \(1\) et inférieur ou égal à \(p\) et à \(n\).
Une matrice non nulle de \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\) est de rang \(r\) si et seulement si elle est équivalente à la matrice \(\mathcal M_{r,n,p}\) de \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\) définie par :
\(\mathcal M_{r,n,p}=\left(\begin{array}{cccccc}\mathcal I_r&\mathcal O_{r,p-r}\\\mathcal O_{n-r,r}&\mathcal O_{n-r,p-r}\end{array}\right)\)
Deux matrices de même type ont le même rang si et seulement si elles sont équivalentes.
Rang de la transposée d'une matrice
Soit \(\mathcal M\) une matrice de \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\). Les matrices \(\mathcal M\) et \({}^t\mathcal M\) ont même rang.
Il en résulte que le rang de \(\mathcal M\) est la dimension du sous-espace de \(\mathbf K^p\) engendré par les \(n\) vecteurs lignes de \(\mathcal M\).
Matrice inversible et rang
Une matrice carrée d'ordre \(n\) est inversible si et seulement si elle est de rang\( n\).
Caractérisation du rang d'une matrice à l'aide des matrices extraites inversibles
Soit \(\mathcal A\) une matrice de \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\). Le rang de \(\mathcal A\) est égal au plus grand des ordres des matrices carrées inversibles extraites de cette matrice.
Rappel :
Soient \(m\) et \(q\) deux entiers tels que \(0\leq m\leq n-1\) et \(0\leq q\leq p-1\). Une matrice obtenue en supprimant \(m\) lignes et \(q\) colonnes est appelée matrice extraite (ou sous-matrice) de \(\mathcal A\). C'est un élément de \(\mathcal M_{n-m,p-q}(\mathbf K)\).
Ces résultats nécessitent de connaître la notion d'application linéaire et de matrice associée à une application linéaire et toutes les propriétés afférentes.. Par contre elle ne font aucunement intervenir la notion d'opérations élémentaires sur les matrices.
"Modèle" des matrices de rang r et matrices élémentaires
Soit \(p\) et \(n\) des entiers supérieurs ou égaux à \(1\) et \(\mathcal M\) une matrice de\( \mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\), non nulle.
Alors, il existe un unique entier \(r\), supérieur ou égal à \(1\), et inférieur ou égal à \(p\) et à \(n\), et deux matrices \(\mathcal P\) et \(\mathcal Q\), tels que :
\(r\) est le rang de \(\mathcal M\)
les matrices \(\mathcal P\) et \(\mathcal Q\), appartiennent respectivement à \(\mathcal M_n(\mathbf K)\) et \(\mathcal M_p(\mathbf K)\) et sont des produits de matrices élémentaires
on ait l'égalité : \(\mathcal M=\mathcal P\left(\begin{array}{cccccc}\mathcal I_r&\mathcal O_{r,p-r}\\\mathcal O_{n-r,r}&\mathcal O_{n-r,p-r}\end{array}\right)\mathcal Q\)
Ce résultat nécessite de connaître la notion d'application linéaire, de matrice associée à une application linéaire et toutes les propriétés afférentes ainsi que la "réduction des matrices" à l'aide des opérations élémentaires.