Mathématiques
Précédent
Suivant
Énoncé du problème

Enoncé global

Étant donnés un entier , , et nombres réels ou complexes , on appelle déterminants de Vandermonde les déterminants d'ordre de la forme :

ou

Question n°1
  1. Pour quelles raisons les deux déterminants ci-dessus ont-ils la même valeur ?

  2. Que peut-on dire au sujet de la valeur de ces déterminants si deux nombres parmi les nombres sont égaux ?

Dans la suite du problème on suppose les nombres distincts deux à deux et on note le déterminant :

Question n°2

Calculer .

Montrer l'égalité .

Question n°3
  1. Démontrer les propriétés suivantes :

    1. Le polynôme est nul ou de degré inférieur ou égal à .

    2. Si n'est pas nul :

      • il admet pour racines,

      • il est exactement de degré ,

      • le coefficient de est .

    3. Le polynôme est nul si et seulement si .

  2. En déduire l'égalité .

Question n°4

Pour tout couple d'entiers , et appartenant à , on note le nombre défini par : .

  1. Montrer l'égalité :

  2. Montrer que , , .

Question n°5
  1. Déduire de la question 3 les relations suivantes : , .

  2. Montrer l'égalité .

  3. En déduire la relation :

    .

Question n°6

Pour tout entier , supérieur ou égal à 2, et nombres réels ou complexes deux à deux distincts, montrer l'égalité suivante :

Question n°7

Application : Systèmes linéaires à coefficients réels ou complexes

Soit un entier naturel non nul, et des nombres réels ou complexes, les nombres étant distincts deux à deux.

On considère le système linéaire suivant :

Ecrire ce système sous forme de produit matriciel, puis le résoudre.

Question n°8

(pour les étudiants connaissant la notion d'anneau)

Exemple : Calcul d'un déterminant à coefficients dans l'anneau

On considère le déterminant défini par :

Montrer que est un polynôme constant et calculer sa valeur.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)