Problème de synthèse

1. Soit \(M\) la matrice \(M=\left(\begin{array}{ccccc}1&a_1&a_1^2&\ldots&a^{n-1}_1\\1&a_2&a^2_2&\ldots&a^{n-1}_2\\\vdots&\vdots&\vdots&\ldots&\vdots\\1&a_{n-1}&a^2_{n-1}&\ldots&a^{n-1}_{n-1}\\1&a_n&a^2_n&\ldots&a^{n-1}_n\end{array}\right)\)

   Le premier déterminant est le déterminant de \(M\) et le deuxième est le déterminant de la matrice transposée de \(M\). Or pour toute matrice carrée \(A\), \(\det A=\det^tA\).

   Donc les deux déterminants présentés sont égaux : \(\det M=\det(^tM)\).

2. Si deux des nombres \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) sont égaux, le premier déterminant a deux lignes égales et le deuxième a deux colonnes égales donc ces deux déterminants sont nuls.

\(D(a_1,a_2)=\left|\begin{array}{cc}1&a_1\\1&a_2\end{array}\right|=a_2-a_1\)

\(D(a_1,a_2,a_3)=\left|\begin{array}{ccc}1&a_1&a^2_1\\1&a_2&a^2_2\\1&a_3&a^2_3\end{array}\right|\)

On soustrait la troisième ligne successivement de la première ligne et de la seconde :

\(D(a_1,a_2,a_3)=\left|\begin{array}{ccc}0&a_1-a_3&a^2_1-a^2_3\\0&a_2-a_3&a^2_2-a^2_3\\1&a_3&a^2_3\end{array}\right|\)

On développe ensuite par rapport à la première colonne :

\(D(a_1,a_2,a_3)=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{cc}a_1-a_3&a^2_1-a^2_3\\a_2-a_3&a^2_2-a^2_3\end{array}\right|\)

puis on se sert de la linéarité d'un déterminant par rapport à chacune de ses lignes :

\(\begin{array}{ccc}D(a_1,a_2,a_3)&=&(a_1-a_3)(a_2-a_3)\left|\begin{array}{cc}1&a_1+a_3\\1&a_2+a_3\end{array}\right|\\&=&(a_1-a_3)(a_2-a_3)(a_2-a_1)\end{array}\)

En réordonnant suivant les indices décroissants, on obtient finalement :

\(D(a_1,a_2,a_3)=(a_3-a_2)(a_3-a_1)(a_2-a_1)\)

1. 1. En développant le déterminant \(P(X)\) suivant la dernière ligne, on obtient \(P(X)\) sous la forme \(P(X)=\alpha_0+\alpha_1X+\ldots+\alpha_{n-1}X^{n-1}\), où \(\alpha_0,\alpha_1,\ldots,\alpha_{n-1}\) ne dépendent que des \(a_1,a_2,\ldots,a_{n-1}\) et donc sont des nombres réels ou complexes. On en déduit que le polynôme \(P(X)\) est nul ou de degré inférieur ou égal à \(n-1\).

   2. On suppose \(P(X)\) non nul.

      En considérant la fonction polynôme \(P\) au point \(a_1\), on obtient :

      \(P(a_1)=\left|\begin{array}{ccccc}1&a_1&a_1^2&\ldots&a^{n-1}_1\\1&a_2&a^2_2&\ldots&a^{n-1}_2\\\vdots&\vdots&\vdots&\ldots&\vdots\\1&a_{n-1}&a^2_{n-1}&\ldots&a^{n-1}_{n-1}\\1&a_1&a^2_1&\ldots&a^{n-1}_1\end{array}\right|\)

      Ce déterminant est nul car sa première et sa dernière ligne sont égales.

      Donc \(P(a_1)=0\).

      On a de même \(P(a_2)=P(a_3)=\ldots=P(a_{n-1})=0\).

      Donc le polynôme \(P(X)\) admet \(a_1,a_2,\ldots,a_{n-1}\) pour racines.

      Comme ces \(n-1\) racines sont distinctes, on en déduit que \(P(X)\) est de degré supérieur ou égal à \(n-1\), donc d'après 1., il est exactement de degré \(n-1\).

      Le coefficient de \(X^{n-1}\)est obtenu en supprimant la dernière ligne et la dernière colonne de \(P(X)\), c'est :

      \(a_{n-1}=\left|\begin{array}{ccccc}1&a_1&a_1^2&\ldots&a^{n-2}_1\\1&a_2&a^2_2&\ldots&a^{n-2}_2\\\vdots&\vdots&\vdots&\ldots&\vdots\\1&a_{n-2}&a^2_{n-2}&\ldots&a^{n-2}_{n-2}\\1&a_{n-1}&a^2_{n-1}&\ldots&a^{n-2}_{n-1}\end{array}\right|\)

      On reconnaît le déterminant de Vandermonde \(D(a_1,a_2,\ldots,a_{n-1})\).

   3. Si le polynôme \(P(X)\) est nul, tous les coefficients \(\alpha_i\), \(0\leq i\leq n-1\), sont nuls et en particulier \(\alpha_{n-1}=D(a_1,a_2,\ldots,a_{n-1})\).

      Si le polynôme \(P(X)\) n'est pas nul, on a vu qu'il est exactement de degré \(n-1\), donc le coefficient \(\alpha_{n-1}=D(a_1,a_2,\ldots,a_{n-1})\) n'est pas nul.

2. D'après la question 2, si le polynôme \(P(X)\) n'est pas nul, il est de degré \(n-1\), et comme les \(a_i, 1\leq i \leq n-1\), sont racines de \(P(X)\) et sont distinctes deux à deux, ce sont ses seules racines. Donc il existe une constante \(\alpha\) telle que \(P(X)=\alpha(X-a_1)(X-a_2)\ldots(X-a_{n-1})\).

   Cette constante est le coefficient de \(X^{n-1}\), c'est donc \(\alpha_{n-1}=D(a_1,a_2,\ldots,a_{n-1})\). D'où

   \(P(X)=D(a_1,a_2,\ldots,a_{n-1})(X-a_1)(X-a_2)\ldots(X-a_{n-1})\)

   Comme \(D(a_1,a_2,\ldots,a_n)=\left[\displaystyle{\prod_{i=1}^{i=n-1}}(a_n-a_i)\right]D(a_1,a_2,\ldots,a_{n-1})\)

   Cette égalité reste vraie si \(P(X)\) est nul car alors \(D(a_1,a_2,\ldots,a_{n-1})\) est nul aussi.

1. On considère \(D(a_1,a_2,\ldots,a_n)=\left|\begin{array}{ccccc}1&a_1&a_1^2&\ldots&a^{n-1}_1\\1&a_2&a^2_2&\ldots&a^{n-1}_2\\\vdots&\vdots&\vdots&\ldots&\vdots\\1&a_{n-1}&a^2_{n-1}&\ldots&a^{n-1}_{n-1}\\1&a_1&a^2_1&\ldots&a^{n-1}_1\end{array}\right|\).

   On procède de la même façon que lors du calcul de \(D(a_1,a_2,a_3)\).

   On ne change pas la valeur de ce déterminant en soustrayant successivement la dernière ligne à chacune des lignes précédentes.

   On obtient

   \(D(a_1,a_2,\ldots,a_n)=\left|\begin{array}{ccccc}0&a_1-a_n&a^2_1-a^2_n&\ldots&a_1^{n-1}-a_n^{n-1}\\0&a_2-a_n&a^2_2-a^2_n&\ldots&a_2^{n-1}-a_n^{n-1}\\\vdots&\vdots&\vdots&\ldots&\vdots\\0&a_{n-1}-a_n&a^2_{n-1}-a^2_n&\ldots&a_{n-1}^{n-1}-a_n^{n-1}\\1&a_n&a^2_n&\ldots&a^{n-1}_n\end{array}\right|\)

   On développe suivant la première colonne :

   \(D(a_1,a_2,\ldots,a_n)=(-1)^{n+1}\left|\begin{array}{cccc}a_1-a_n&a^2_1-a^2_n&\ldots&a_1^{n-1}-a_n^{n-1}\\a_2-a_n&a^2_2-a^2_n&\ldots&a_2^{n-1}-a_n^{n-1}\\\vdots&\vdots&\ldots&\vdots\\a_{n-1}-a_n&a^2_{n-1}-a^2_n&\ldots&a_{n-1}^{n-1}-a_n^{n-1}\end{array}\right|\)

   Tous les coefficients qui interviennent dans ce déterminant sont des identités remarquables faisant intervenir un facteur \(a_i-a_n, 1\leq i\leq n-1\).

   Pour tout couple d'entiers \((i,k)\), \(i\) et \(k\) appartenant à \(\{1,2,\ldots,n-1\}\), on note \(b_{i,k}\) le nombre défini par : \(a_i^k-a_n^k=(a_i-a_n)b_{i,k}\).

   Remarque : \(b_{i,1}=1\).

   On remplace donc chacun des nombres \(a_i^k-a_n^k\) par \((a_i-a_n)b_{i,k}\):

   \(D(a_1,a_2,\ldots,a_n)=(-1)^{n+1}\left|\begin{array}{cccc}a_1-a_n&(a_1-a_n)b_{1,2}&\ldots&(a_1-a_n)b_{1,n-1}\\a_2-a_n&(a_2-a_n)b_{2,2}&\ldots&(a_2-a_n)b_{2,n-1}\\\vdots&\vdots&\ldots&\vdots\\a_{n-1}-a_n&(a_{n-1}-a_n)b_{n-1,2}&\ldots&(a_{n-1}-a_n)b_{n-1,n-1}\end{array}\right|\)

   Dans chacune des lignes \(i\), \(i\in\{1,2,\ldots,n-1\}\), on a le terme \((a_i-a_n)\) en facteur, donc en se servant de linéarité d'un déterminant par rapport à chacune de ses lignes, \(D(a_1,a_2,\ldots,a_n)\) est alors égal à :

   \((-1)^{n+1}(a_1-a_n)(a_2-a_n)\ldots(a_{n-1}-a_n)=\left|\begin{array}{cccc}1&b_{1,2}&\ldots&b_{1,n-1}\\1&b_{2,2}&\ldots&b_{2,n-1}\\\vdots&\vdots&\ldots&\vdots\\1&b_{n-1,2}&\ldots&b_{n-1,n-1}\end{array}\right|\)

   en remplaçant chaque facteur \((a_i-a_n)\) par son opposé, on fait apparaître le facteur \((-1)^{n-1}\), on obtient bien :

   \(D(a_1,a_2,\ldots,a_n)=(a_n-a_1)(a_n-a_2)\ldots(a_n-a_{n-1})\left|\begin{array}{cccc}1&b_{1,2}&\ldots&b_{1,n-1}\\1&b_{2,2}&\ldots&b_{2,n-1}\\\vdots&\vdots&\ldots&\vdots\\1&b_{n-1,2}&\ldots&b_{n-1,n-1}\end{array}\right|\)

2. On montre : \(\forall i\in\{1,2,\ldots,n-1\}\), \(\forall k\in\{2,3,\ldots,n-1\}\), \(b_{i,k}=a_i^{k-1}+a_nb_{i,k-1}\).

   Le nombre \(b_{i,k}\) est le nombre défini par : \(a_i^k-a_n^k=(a_i-a_n)b_{i,k}\).

   Pour simplifier, dans cette question, on change les notations : soit \(x=a_i\) et \(y=a_n\).

   On se sert, pour \(k\geq 3\), des identités remarquables :

   \(x^k-y^k=(x-y)(x^{k-1}+x^{k-2}y+x^{k-3}y^2+\ldots+xy^{k-2}+y^{k-1})\)

   et \(x^{k-1}-y^{k-1}=(x-y)(x^{k-2}+x^{k-3}y+\ldots+xy^{k-3}+y^{k-2})\).

   Donc

   \(b_{i,k}=x^{k-1}+x^{k-2}y+\ldots+xy^{k-2}+y^{k-1}\)

   \(b_{i,k-1}=x^{k-2}+x^{k-3}y+\ldots+xy^{k-3}+y^{k-2}\)

   et comme

   \(x^{k-1}+x^{k-2}y+\ldots+xy^{k-2}+y^{k-1}=x^{k-1}+y(x^{k-2}+x^{k-3}y+\ldots+xy^{k-3}+y^{k-2})\)

   on a bien \(b_{i,k}=a_i^{k-1}+a_nb_{i,k-1}\), pour \(k\geq 3\).

   Pour \(k=2\), on a aussi \(b_{i,2}=a_i+a_nb_{i,1}\) car \(a_i^2-a_n^2=(a_i-a_n)(a_i+a_n)\) et \(b_{i,1}=1\).

1. D'après la question précédente \(\forall i\in\{1,2,\ldots,n-1\}\), \(\forall k\in\{2,3,\ldots,n-1\}\), \(b_{i,k}=a_i^{k-1}+a_nb_{i,k-1}\).

   D'où

   \(C_k=\left(\begin{array}{c}b_{1,k}\\b_{2,k}\\\vdots\\b_{n-1,k}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a_1{k-1}+a_nb_{1,k-1}\\a_2^{k-1}+a_nb_{2,k-1}\\\vdots\\a_{n-1}^{k-1}+a_nC_{k-1}\end{array}\right)\), donc \(C_k=\left(\begin{array}{c}a_1^{k-1}\\a_2^{k-1}\\\vdots\\a_{n-1}^{k-1}\end{array}\right)+a_nC_{k-1}\).

   On obtient bien l'égalité \(C_k=A_{k-1}+a_nC_{k-1}\), \(\forall k\in\{2,3,\ldots,n-1\}\)

2. Soit \(\Delta_{n-1}=\det(C_1,C_2,\ldots,C_{n-1})\)

   Comme \(C_k=A_{k-1}+a_nC_{k-1}\), il vient pour \(k=n-1\) :

   \(\begin{matrix}\Delta_{n-1}&=&\det(C_1,C_2,\ldots,C_{n-2},C_{n-1})\\&=&\det(C_1,C_2,\ldots,C_{n-2},A_{n-2}+a_nC_{n-2})\\&=&\det(C_1,C_2,\ldots,C_{n-2},A_{n-2})+a_n\det(C_1,C_2,\ldots,C_{n-2}C_{n-2})\end{matrix}\)

   Or le déterminant \(\det(C_1,C_2,\ldots,C_{n-2}C_{n-2})\) est nul car il a deux colonnes égales.

   Donc \(\Delta_{n-1}=\det(C_1,C_2,\ldots,C_{n-2},A_{n-2})\)

   On continue en remplaçant \(C_{n-2}\), puis \(C_{n-3}\),..., puis \(C_2\) par les relations \(C_k=A_{k-1}+a_nC_{k-1}\), et en appliquant la même règle (un déterminant ayant deux colonnes égales est nul), on trouve : \(\Delta_{n-1}=\det(C_1,A_1,A_2,\ldots,A_{n-2})\)

   ce qui s'écrit : \(\Delta_{n-1}=\left|\begin{array}{ccccc}1&a_1&a_1^2&\ldots&a^{n-2}_1\\1&a_2&a^2_2&\ldots&a^{n-2}_2\\\vdots&\vdots&\vdots&\ldots&\vdots\\1&a_{n-2}&a^2_{n-2}&\ldots&a^{n-2}_{n-2}\\1&a_{n-1}&a^2_{n-1}&\ldots&a^{n-2}_{n-1}\end{array}\right|\)

   On reconnaît le déterminant \(D(a_1,a_2,\ldots,a_{n-1})\).

   On a bien démontré l'égalité \(\Delta_{n-1}=D(a_1,a_2,\ldots,a_{n-1})\).

3. On a \(D(a_1,a_2,\ldots,a_n)=\left[\displaystyle{\prod_{i=1}^{i=n-1}}(a_n-a_i)\right]D(a_1,a_2,\ldots,a_{n-1})\)

   En effet, dans la question 4-1., on a montré l'égalité \(D(a_1,a_2,\ldots,a_n)=(a_n-a_1)(a_n-a_2)\ldots(a_n-a_{n-1})\Delta_{n-1}\)

   et dans la question 5-2. on a montré l'égalité \(\Delta_{n-1}=D(a_1,a_2,\ldots,a_{n-1})\).

On a trouvé à la question 3

\(D(a_1,a_2)=a_2-a_1\) et \(D(a_1,a_2,a_3)=(a_3-a_2)(a_3-a_1)(a_2-a_1)\)

On montre par récurrence que \(D(a_1,a_2,\ldots,a_k)=\displaystyle{\prod_{1\leq i< j\leq k}}(a_j-a_i)\), pour \(k\), \(k\in \{2,3,\ldots,n\}\) :

Cette égalité est vraie pour \(k=2\).

Supposons-la vraie pour \(k=p\), c'est-à-dire supposons l'égalité \(D(a_1,a_2,\ldots,a_p)=\displaystyle{\prod_{1\leq i< j\leq k}}(a_j-a_i)\).

On considère \(D(a_1,a_2,\ldots,a_{p+1})\). C'est un déterminant de Vandermonde d'ordre \(p+1\).

D'après les questions précédentes ( \(p+1\) est un \(n\) particulier), \(D(a_1,a_2,\ldots,a_{p+1})=\left[\displaystyle{\prod_{1=1}^{i=p}}(a_{p+1}-a_i)\right]D(a_1,a_2,\ldots,a_p)\).

D'où \(D(a_1,a_2,\ldots,a_{p+1})=\left[\displaystyle{\prod_{1=1}^{i=p}}(a_{p+1}-a_i)\right]\left[\displaystyle{\prod_{1\leq i< j\leq k}}(a_j-a_i)\right]\)

donc \(D(a_1,a_2,\ldots,a_{p+1})=\left[\displaystyle{\prod_{1\leq i< j\leq p+1}}(a_j-a_i)\right]\).

On a bien montré l'égalité \(D(a_1,a_2,\ldots,a_n)=\displaystyle{\prod_{1\leq i<j\leq n}}(a_j-a_i)\)

Remarques :

1. Ce déterminant n'est pas nul puisque les nombres \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) sont distincts deux à deux.

2. La formule donnant la valeur d'un déterminant de Vandermonde reste vraie si deux des nombres \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) sont égaux, puisque dans ce cas on a vu, à la question 0, que le déterminant est nul.

3. Donc un déterminant de Vandermonde \(D(a_1,a_2,\ldots,a_n)\) est non nul si et seulement si les nombres \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) sont distincts deux à deux.

Le système linéaire

\(\left\{\begin{array}{ccccccccc}x_1&+&x_2&+&\ldots&+&x_n&=&1\\a_1x_1&+&a_2x_2&+&\ldots&+&a_nx_n&=&b\\a^2_1x_1&+&a^2_2x_2&+&\ldots&+&a^2_nx_n&=&b^2\\&&&&\vdots&&&&\\a^{n-1}_1x_1&+&a_2^{n-1}x_2&+&\ldots&+&a_n^{n-1}x_n&=&b^{n-1}\end{array}\right.\)

s'écrit sous forme matricielle :

\(\left(\begin{array}{cccc}1&1&\ldots&1\\a_1&a_2&\ldots&a_n\\a_1^2&a_2^2&\ldots&a_n^2\\\vdots&\vdots&\ldots&\vdots\\a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&\ldots&a_n^{n-1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots\\\vdots\\x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\b\\b^2\\\vdots\\b^{n-1}\end{array}\right)\)

Soit \(A=\left(\begin{array}{cccc}1&1&\ldots&1\\a_1&a_2&\ldots&a_n\\a_1^2&a_2^2&\ldots&a_n^2\\\vdots&\vdots&\ldots&\vdots\\a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&\ldots&a_n^{n-1}\end{array}\right)\)

On remarque que le déterminant de la matrice \(A\) est un déterminant de Vandermonde qui vaut \(D(a_1,a_2,\ldots,a_n)=\displaystyle{\prod_{1\leq i<j\leq n}}(a_j-a_i)\).

Comme les nombres \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) sont distincts deux à deux, \(D(a_1,a_2,\ldots,a_n)\) n'est pas nul et le système est un système de Cramer.

Le système proposé admet donc une solution unique \((x_1,x_2,\ldots,x_n)\) pour tout nombre \(b\).

On applique les formules de Cramer permettant de trouver les \(x_l,1\leq l\leq n\):

\(x_l=\frac{\det A_l}{\det A}\) , où \(A_l\) est la matrice déduite de la matrice \(A\) en remplaçant la \(l\)-ième colonne par la colonne \(\left(\begin{array}{c}1\\b\\b^2\\\vdots\\b^{n-1}\end{array}\right)\), c'est-à-dire \(A_l\) est déduite de la matrice \(A\) en remplaçant le nombre \(x_l\) par le nombre \(b\) : en fait \(\det A_l\) est lui aussi un déterminant de Vandermonde dont la valeur est :

\(\det A_l=\left(\displaystyle{\prod_{l<j\leq n}}(a_j-b)\right)\left(\displaystyle{\prod_{1\leq i<l}}(b-a_i)\right)\left(\displaystyle{\prod_{\begin{array}{c}1\leq i<j\leq n\\i\neq l,j\neq l\end{array}}}(a_j-a_i)\right)\)

Comme \(\det A\) peut s'écrire aussi

\(\det A=\left(\displaystyle{\prod_{l<j\leq n}}(a_j-a_l)\right)\left(\displaystyle{\prod_{1\leq i<l}}(a_l-a_i)\right)\left(\displaystyle{\prod_{\begin{array}{c}1\leq i<j\leq n\\i\neq l,j\neq l\end{array}}}(a_j-a_i)\right)\)

On obtient \(x_l=\frac{\left(\displaystyle{\prod_{l<j\leq n}}(a_j-b)\right)\left(\displaystyle{\prod_{1\leq i<l}}(b-a_i)\right)}{\left(\displaystyle{\prod_{l<j\leq n}}(a_j-a_l)\right)\left(\displaystyle{\prod_{1\leq i<l}}(a_l-a_i)\right)}\)

donc

\(\forall l\in\{1,2,\ldots,n\}\), \(x_l=\displaystyle{\prod_{\begin{array}{c}1\leq i<j\leq n\\kj\neq l\end{array}}}\frac{(a_k-b)}{(a_k-a_l)}\)

On considère le déterminant \(D_n\) défini par :

\(D_n=\left|\begin{array}{ccccc}1&X+1&(X+1)^2&\ldots&(X+1)^{n-1}\\1&X+2&(X+2)^2&\ldots&(X+2)^{n-1}\\1&X+3&(X+3)^2&\ldots&(X+3)^{n-1}\\\vdots&\vdots&\vdots&\ldots&\vdots\\1&X+n&(X+n)^2&\ldots&(X+n)^{n-1}\end{array}\right|\)

C'est un déterminant de Vandermonde avec \(\forall k\in\{1,2,\ldots,n\}\), \(a_k=X+k\).

La formule \(D(a_1,a_2,\ldots,a_n)=\displaystyle{\prod_{1\leq i<j\leq n}}(a_j-a_i)\) nous permet d'écrire : \(D_n=\displaystyle{\prod_{1\leq i<j\leq n}}\left[(X+j)-(X+i)\right]=\displaystyle{\prod_{1\leq i<j\leq n}}(j-i)\).

On constate que \(D_n\) est un polynôme constant, qui peut encore s'écrire :

\(D_n=\displaystyle{\prod_{j=2}^{j=n}}[(j-1)!]=((n-1)!)\times((n-2)!)\times\ldots\times(2!)\times(1!)\)