Développements limités en x0 ∈ R
Voici la définition des développements limités en \(x_0\in\mathbb R\) ; on voit qu'elle généralise la définition 1 en 0, c'est-à-dire que si \(x_0=0\), on retrouve la même définition.
Définition : Définition 2
Soit f définie sur un voisinage pointé \(V^*(x_0)\) de \(x_0\in\mathbb R\). On dit que \(f\) possède un développement limité à l'ordre \(n\) en \(x_0\), s'il existe :
un polynôme \(P_n\) de degré inférieur ou égal à \(n\),
une fonction \(\epsilon\) définie sur \(V^*(x_0)\),
tels que : \(\forall x\in V^*(x_0),\quad f(x)=P_n(x-x_0)+(x-x_0)^n \epsilon(x)\) et \(\lim_{x\rightarrow0}\epsilon(x)=0\).
Dans la pratique, pour étudier l'existence et pour fabriquer de tels développements limités, on effectue un changement de variable qui nous ramène en 0.
Plus précisément, on pose \(y=x-x_0\) et \(g(y)=f(y+x_0)\); la fonction \(g\) est définie sur un voisinage pointé de 0 et :
la fonction \(f\) possède un développement limité à l'ordre \(n\) en \(x_0\) si et seulement si la fonction \(g\) possède un développement limité à l'ordre \(n\) en 0 ;
si \(g(y)=P(y)+y^n\epsilon(y)\) est le développement limité à l'ordre \(n\) de \(g\) en 0,
alors \(f(x)=P(x-x_0)+(x-x_0)^n\epsilon(x-x_0)\) est le développement limité à l'ordre \(n\) de \(f\) en \(x_0\).