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Développements limités en x0 ∈ R

Voici la définition des développements limités en ; on voit qu'elle généralise la définition 1 en 0, c'est-à-dire que si , on retrouve la même définition.

Définition : Définition 2

Soit f définie sur un voisinage pointé de . On dit que possède un développement limité à l'ordre en , s'il existe :

  1. un polynôme de degré inférieur ou égal à ,

  2. une fonction définie sur ,

tels que : et .

Dans la pratique, pour étudier l'existence et pour fabriquer de tels développements limités, on effectue un changement de variable qui nous ramène en 0.

Plus précisément, on pose et ; la fonction est définie sur un voisinage pointé de 0 et :

  1. la fonction possède un développement limité à l'ordre en si et seulement si la fonction possède un développement limité à l'ordre en 0 ;

  2. si est le développement limité à l'ordre de en 0,

alors est le développement limité à l'ordre de en .

Légende :
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