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Développements limités en l'infini ou en - l'infini

Envisageons maintenant les cas et

Définition

Soit définie sur un voisinage de (resp. ). On dit que possède un développement limité à l'ordre en (resp. ), s'il existe :

  1. un polynôme de degré inférieur ou égal à ,

  2. une fonction définie sur ,

tels que :

et (resp. ).

Ici encore, on se ramène en 0 par changement de variable, en prenant cependant une précaution.

Supposons que l'on ait : sur avec  ;

posons et ; la fonction est définie sur , et pour tout , on a

donc .

L'égalité n'est pas le développement limité de à l'ordre en 0, car ne vaut que sur ; nous dirons, de façon naturelle, que est le développement limité de à l'ordre , à droite en 0. Comme la réciproque est évidente, nous avons l'équivalence entre les propriétés :

  1. la fonction possède un développement limité à l'ordre en ,

  2. la fonction définie par possède un développement limité à l'ordre à droite en 0.

On définit de manière analogue, la notion de développement limité de à gauche en 0 qui correspond aux développements limités en .

Légende :
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