Développements limités en l'infini ou en - l'infini

Envisageons maintenant les cas \(x_0=+\infty\) et \(x_0=-\infty\)

Définition

Soit \(f\) définie sur un voisinage \(V\) de \(+\infty\) (resp. \(-\infty\)). On dit que \(f\) possède un développement limité à l'ordre \(n\) en \(+\infty\) (resp. \(-\infty\)), s'il existe :

  1. un polynôme \(P_n\) de degré inférieur ou égal à \(n\),

  2. une fonction \(\epsilon\) définie sur \(V\),

tels que :

\(\displaystyle{\forall x\in V, f(x)=P_n\left(\frac{1}{x}\right)+\frac{1}{x^n}\epsilon(x)}\) et \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\epsilon(x)=0}\) (resp. \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\epsilon(x)=0}\)).

Ici encore, on se ramène en 0 par changement de variable, en prenant cependant une précaution.

Supposons que l'on ait : \(\displaystyle{f(x)=P\left(\frac{1}{x}\right)+\frac{1}{x^n}\epsilon(x)}\) sur \(]A,+\infty[\) avec \(A>0\) ;

posons \(\displaystyle{u=\frac{1}{x}}\) et \(\displaystyle{g(u)=f\left(\frac{1}{u}\right)}\) ; la fonction \(g\) est définie sur \(\displaystyle{\left]0,\frac{1}{A}\right[}\), et pour tout \(\displaystyle{u\in\left]0,\frac{1}{A}\right[}\), on a

\((1)\quad g(u)=P(u)+u^n\epsilon_1(u)\)\(\displaystyle{\epsilon_1(u)=\epsilon\left(\frac{1}{u}\right)}\) donc \(\lim_{u\rightarrow0}+\epsilon_1(u)=0\).

L'égalité \((1)\) n'est pas le développement limité de \(g\) à l'ordre \(n\) en 0, car \((1)\) ne vaut que sur \(\displaystyle{\left]0,\frac{1}{A}\right[}\) ; nous dirons, de façon naturelle, que \((1)\) est le développement limité de \(g\) à l'ordre \(n\), à droite en 0. Comme la réciproque est évidente, nous avons l'équivalence entre les propriétés :

  1. la fonction \(f\) possède un développement limité à l'ordre \(n\) en \(+\infty\),

  2. la fonction \(g\) définie par \(\displaystyle{g(u)=f\left(\frac{1}{u}\right)}\) possède un développement limité à l'ordre \(n\) à droite en 0.

On définit de manière analogue, la notion de développement limité de \(g\) à gauche en 0 qui correspond aux développements limités en \(-\infty\).