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Etude locale d'un graphe à "distance finie"

Voyons comment les développements limités permettent de préciser l'allure locale du graphe d'une fonction, en particulier en donnant une tangente, et la position du graphe par rapport à cette tangente.

Considérons une fonction définie au voisinage d'un . On a vu qu'il est équivalent de dire que (ou son prolongement en ) est dérivable en ou de dire que admet un développement limité à l'ordre 1 (au moins). Nous supposerons cette condition réalisée, et nous noterons et .

On sait que le graphe de admet alors une tangente en , d'équation .

Supposons de plus qu'il existe un entier tel que admette un développement limité à l'ordre , de la forme

avec ,

c'est-à-dire que tous les cœfficients sont nuls pour , et non nul ; on dit que c'est le premier développement limité significatif de .

Alors le signe de donne la position de par rapport à la droite .

Pour le voir, il suffit d'écrire le développement limité précédent sous la forme

.

Vu que , le signe de la parenthèse est au voisinage de le même que celui de (il suffit d'utiliser la définition de la limite).

D'autre part, le signe de est :

  • positif si est pair ;

  • positif pour et négatif pour si est impair.

Ainsi, on connaît localement le signe de , c'est-à-dire la position locale du graphe de par rapport à la tangente :

  • quand , est au dessus de ;

  • quand , est au dessous de .

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