Quelques définitions
Définition :
On appelle équation différentielle une équation où interviennent une fonction inconnue \(y(x)\) de la variable réelle \(x\) et une ou plusieurs de ses dérivées \(y'\), \(y''\) , etc... ainsi qu'éventuellement la variable \(x\) elle-même : par exemple,
Exemple :
\(\displaystyle{y' = 2y}\),
\(\displaystyle{yy' + x = 1}\),
\(\displaystyle{(y')^2 + y + x = 0}\)
\(y\displaystyle{('') = y' - x y^2}\)
sont des équations différentielles.
Toutes ces équations peuvent s'écrire \(\displaystyle{F(x, y, y', y'', ...) = 0}\) , où \(F\) est une fonction réelle de plusieurs variables.
Définition : Solutions d'une équation différentielle
On dit qu'une fonction \(u(x)\) est solution de l'équation différentielle \(\displaystyle{F(x, y, y', y'', ...) = 0}\) si son domaine de définition est un certain intervalle \(I\) de \(\mathbb R\), si elle est suffisamment dérivable sur \(I\), et si elle vérifie, pour tout \(x\) de \(I, F(x, u(x), u'(x), u''(x),...) = 0\).
Par exemple, la fonction \(u(x) = x - 1\) est solution de l'équation \(y' + y - x = 0\) parce que \(u'(x) + u(x) - x = 0\) pour tout \(x\).
Nous verrons qu'une équation différentielle possède en général une infinité de solutions.
Définition : Ordre d'une équation différentielle
On dit qu'une équation différentielle est du premier ordre si elle ne fait intervenir que \(x, y\) et sa dérivée première \(y'\)
Exemple :
Les équations
\(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}y' & = & y, \\yy'+x & = & 1, \\ y'-xy & = & 0\end{array}}\)
sont du premier ordre.
Une équation du second ordre peut faire intervenir \(x, y, y' \textrm{ et } y''\) . L'équation \(y'' + x y' - y = 0\) est du second ordre.
Nous nous limiterons aux équations de premier et du second ordre, et pour celles du second ordre aux cas les plus simples.
On dit qu'une équation différentielle (du premier ordre) est résolue en \(y' \)si elle s'écrit \(y' = f(x, y) \); nous étudierons essentiellement ce type d'équations.