Introduction

Lorsque l'on connaît les lois régissant la variation d'un phénomène à chaque instant et que l'on s'intéresse à son évolution à long terme, on peut souvent modéliser le comportement de ce phénomène à l'aide d'une équation différentielle : la variable réelle représente alors le temps.

Les solutions de cette équation peuvent alors être interprétées pour décrire l'état du phénomène à un instant donné.

Les quelques exemples ci-dessous permettront de mieux comprendre ce cheminement.

Une équation différentielle particulièrement simple est l'équation \(y' = ay\) , où \(a\) est une constante réelle.

Elle modélise des situations très diverses, où la vitesse de variation d'une quantité est proportionnellle à cette quantité même :

• La taille d'une population ayant un taux d'accroissement constant.

• L'évolution d'un avoir placé à intérêts composés à taux fixe.

• L'évolution de la masse d'une substance radio-active (dans ce cas, la constante \(a\) est négative; elle dépend de la substance et de l'unité de temps choisie).

• etc...

Nous verrons que les solutions de l'équation \(y' = ay \)sont \(u(x) = C e^{ax}\) , où \(C\) est une constante arbitraire. Dans le troisième cas par exemple, on interprète cela en disant que si on a, à l'instant \(x = 0\) , une masse \(C\) de substance radio-active, au bout de 3 unités de temps il en restera \(C e^{3a}\) .

Le modèle d'évolution de population donné par \(y' = ay\), soit \(y'/ y = a\) , suppose que pendant un laps de temps donné cette population subit un accroissement proportionnel à sa taille ; c'est bien entendu un modèle très fruste. Une vision un peu plus réaliste consiste à prendre en compte des contraintes spécifiques.

Par exemple, si on s'intéresse à une population de bactéries vivant dans un espace clos, on rajoute un taux de mortalité dû à l'étouffement ou à la compétition, qu'il est raisonnable de supposer à chaque instant proportionnel à la population : on remplace alors l'équation \(\displaystyle{y'/ y = a}\) par \(\displaystyle{y'/ y = a - by}\) , soit

\(\displaystyle{y' = ay - by^2}\). Cette équation porte le nom d'équation logistique ; elle est beaucoup utilisée en économie.

Considérons maintenant une population de punaises d'eau rassemblées en une colonie ayant la forme d'un disque. On peut supposer que celles de la périphérie souffrent du froid, et ont un taux de mortalité supplémentaire. Si y représente la taille de la population, l'effectif de celles de la périphérie est proportionnel à \(y^{1/2}\) ; l'équation différentielle rendant compte de cette situation est donc de la forme \(\displaystyle{y' = ay - by^{1/2}}\).

Les lois élémentaires de la physique fournissent des quantités de très beaux exemples d'équations différentielles, la plupart du temps du second ordre. Citons les plus classiques :

• Décharge d'un condensateur : Si un circuit constitué d'une résistance\(R\), d'un condensateur de capacité \(C\) et d'une bobine d'inductance \(L\) est monté en série aux bornes d'un générateur fournissant une tension variable \(f(t)\), la charge \(Q(t)\) du condensateur vérifie l'équation

  \(\displaystyle{LQ'' + RQ' + (1/C)Q = f(t)}\) (ici, les dérivées \(Q'\) et \(Q''\) sont relatives à la variable \(t\)) .

• Si une masse \(m\) est suspendue à un ressort ayant un coefficient de rappel \(F\) et un amortissement constant \(k\), sa position \(h(t)\) vérifie l'équation

  \(\displaystyle{mh'' + kh' + Fh = 0}\)

• Un pendule, constitué d'une petite bille, se meut dans un plan vertical au bout d'une fine tige rigide de longueur \(l\) dont l'autre extrémité est fixe. Notons \(A(t)\) l'angle de la tige repéré depuis la position d'équilibre.\(A(t)\) vérifie l'équation

  \(\displaystyle{A" = - (g/l) \sin A}\) (\(g\) désigne l'accélération de la pesanteur).