Isoclines
Définition :
Pour tout nombre réel \(p\), on appelle isocline de pente \(p\) de l'équation différentielle \(y' = f(x, y)\) l'ensemble des points \((x, y)\) tels que \(f(x, y) = p\).
Pour certaines valeurs de \(p\), cet ensemble peut être vide.
Une isocline non vide est en général une courbe de \(\mathbb R^2\), ou une réunion de courbes de \(\mathbb R^2\).
Ce n'est pas toujours le graphe d'une fonction, et il n'y a pas de raison pour que ce soit une solution.
En chaque point de l'isocline de pente \(p\) passe une solution ; sa tangente en ce point a pour pente \(p\).
La figure ci-dessous concerne l'équation \(\displaystyle{y' = y - \sin x}\).
L'isocline de pente \(p\) est la sinusoïde d'équation \(y = \sin x + p\).
La figure montre en jaune les isoclines de pente \(p\) pour les \(p\) entiers entre \(- 3\) et \(3\). On a tracé sur chaque isocline des petits segments de pente \(p\).
En cliquant sur un point de la figure, vous verrez apparaître le graphe de la solution passant par ce point : ce graphe croise chaque isocline avec la pente requise.
Remarquez à quel point cette seule contrainte détermine l'allure des solutions.