Champ de tangentes
Pour en savoir encore plus sur les solutions de l'équation \(y' = f(x, y)\), on associe à chaque point \((x, y)\) du plan un segment de pente\(p = f(x, y)\). On définit ainsi un champ de tangentes associé à cette équation . Toute solution de l'équation est alors tangente en chacun de ses points au segment correspondant.
Pratiquement, pour représenter le champ de tangentes associé à \(y' = f(x, y)\) , on se donne un quadrillage de la portion de plan choisie ; en chaque point de ce quadrillage, on trace un petit segment centré en ce point, de pente \(p = f(x, y)\).
Sur la figure ci-dessous, si vous choisissez une équation, vous verrez se tracer le champ de tangentes associé. Si vous cliquez alors sur un point du plan, vous verrez apparaître la solution unique ; passant par ce point, et constaterez qu'elle suit bien le champ de tangentes. On peut même souvent, à la vue de ce champ, deviner l'allure des solutions avant de les tracer (essayez de le faire !).
Complément :
Toutes les équations proposées vérifient les hypothèses du theorème de Cauchy-Lipschitz. Par tout point passe donc une solution et une seule. Certaines solutions, nettement distinctes pour certaines valeurs de \(x\) semblent se confondre pour d'autres valeurs.
Ce n'est qu'un effet de l'échelle du tracé : ces courbes se rapprochent effectivement, mais ne coïncident jamais.