Exercice n°1
Partie
Dans quelles régions les solutions de chacune des équations ci-dessous sont-elles croissantes ? Décroissantes ?
Dans chaque cas, on fera un dessin, en indiquant par des flèches montantes ou descendantes le sens de variation dans chaque région, et on s'exercera à tracer des graphes de fonctions compatibles avec les résultats trouvés.
Pour toutes ces équations, de la forme
\(\displaystyle d{y ' = f (x, y)}\),
la ou les courbes d'équation \(f (x, y) = 0\) séparent les régions où \(y'\) est positif de celles où \(y'\) est négatif.
Question
\(\displaystyle{y'=y-\sin x}\)
Solution détaillée
Equation \(\displaystyle{y'=y-\sin x}\)
Une solution de l'équation \(\displaystyle{y'=y-\sin x}\) est croissante tant que son graphe reste au dessus de la courbe \(y=\sin x\), et décroissante lorsque son graphe est au dessous.
La figure ci-dessous montre ces régions. En déplaçant le point, vous verrez le graphe de la solution passant par ce point, et constaterez qu'elle est croissante ou décroissante dans chacune des régions coloriée.
Question
2. \(\displaystyle{y'=x^2+y^2-1}\),
Solution détaillée
Les solutions de l'équation \(\displaystyle{y' = x^2 + y^ 2 - 1}\) sont croissantes à l'extérieur du cercle centré à l'origine et de rayon 1, et décroissantes à l'intérieur de ce cercle. Vérifiez le en cliquant sur la figure ci-dessous.
Question
\(\displaystyle{y'=(y-x^2+1)(y+x^2-1)}\).
Solution détaillée
Les deux paraboles \(\displaystyle{y = x ^2 - 1}\) et \(\displaystyle{y = - x^ 2 + 1}\) délimitent cinq régions. Les solutions de l'équation \(\displaystyle{y' = (y - x^ 2 + 1)(y + x ^2 - 1)}\) sont décroissantes dans trois de ces régions et croissantes dans les deux autres (voir figure ci-dessous).