Exercice n°3
Partie
On considère l'équation différentielle
\(\displaystyle{y'=\sin x\sin y}\)
Question
Montrer que les fonctions constantes \(y=k\pi\) (\(k\)entier) sont des solutions.
Solution détaillée
Si \(u\) est la fonction constante \(u(x)=k\pi\) (avec \(k\) entier), on a, pour tout \(x\),
\(\sin u(x)=0\) et \(u'(x)=0\).
Donc pour tout \(\displaystyle{x,u'(x)=\sin(x)\sin(u(x))}\) et \(u\) est donc solution de l'équation différentielle.
Question
Déterminer les régions du plan \((x,y)\) dans lesquelles les solutions sont croissantes, et celles dans lesquelles elles sont décroissantes.
Faire un dessin dans le carré \(\displaystyle{-7< x<7,-7< y<7}\). Voir complément : Remarquer que \(y'\) est nul sur les droits d'équation \(y=k\pi\)(\(k\)entier) et sur les droites \(x=m\pi\)(\(m\)entier).
Solution détaillée
\(\sin x\) est positif si \(\displaystyle{0< x<\pi}\), et plus généralement si \(\displaystyle{2s\pi< x<(2s+1)\pi}\), avec \(s\) entier. Il est négatif si \(\displaystyle{(2s-1)\pi< x<2s\pi}\).
De même, \(\sin y\) est positif si \(\displaystyle{2r\pi< y<(2r+1)\pi}\), avec \(r\) entier. Il est négatif si \(\displaystyle{(2r-1)\pi< y<2r\pi}\).
Le signe de \(\displaystyle{\sin x\sin y}\) reste donc constant dans chacun des carrés délimités par les verticales \(x=m\pi\) et les horizontales \(y=n\pi\). Le régionnement du plan se présente comme un damier infini.
Question
Sans résoudre l'équation, essayer de tracer dans le carré ci-dessus les graphes de quelques solutions non constantes.
Solution détaillée
L'équation vérifie le théorème de Cauchy-Lipschitz (d'existence et d'unicité). Le graphe d'une solution \(y(x)\) vérifiant par exemple \(\displaystyle{2r\pi< y(0)<(2r+1)\pi}\) ne peut croiser les droites \(\displaystyle{y=2r\pi}\) et \(\displaystyle{y=(2r+1)\pi}\) qui sont aussi des graphes de solutions, et reste donc coincé entre ces deux horizontales.
Plus généralement, chaque graphe de solution non constante reste dans une même bande horizontales \(\displaystyle{k\pi< y<(k+1)\pi}\).
On peut montrer que ces solutions sont périodiques, de période \(2\pi\).
Cliquez sur la figure ci-dessous pour voir ces solutions.