Méthode d'Euler
Intéressons nous à la solution \(u(x)\) de l'équation différentielle \(y' = f(x, y)\) vérifiant \(u(x_0) = y_0\). Même si nous ne connaissons pas cette solution, nous connaissons sa tangente au point \((x_0, y_0)\): c'est la droite de pente \(f(x_0, y_0)\) passant par \((x_0, y_0)\).
La différence \(h\) entre les deux abscisses est appelée le pas, et on a les formules
\(\displaystyle{x_1 = x_0 + h, y_1 = y_0 + h f(x_0, y_0)}\)
Intuitivement, au voisinage de ce point, le graphe de la solution est très proche de sa tangente. Si l'on suit cette tangente sur une "petite" longueur, on aboutit à un point \((x_1, y_1)\).
La valeur \(y_1\) est donc une bonne approximation de la valeur inconnue \(u(x_1)\). Si on recommence ce processus à partir de \((x_1, y_1)\) en suivant sur une petite longueur la droite de pente \(f(x_1, y_1)\), et ainsi de suite, on obtient une ligne brisée issue de \((x_0, y_0)\) qui, on peut l'espérer, restera proche du graphe de la solution cherchée.
Une façon de procéder est, à chaque étape, d'augmenter l'abscisse \(x\) de la valeur fixée \(h\) (méthode d'Euler à pas constant).
On a alors les formules de récurrence
\(\displaystyle{x_(k + 1) = x_k + h}\), (donc \(\displaystyle{x_k = x_0 + kh}\))
\(\displaystyle{y_(k + 1) = y_k + hf (x_k, y_k)}\)
On peut aussi, au lieu d'augmenter chaque fois l'abscisse \(x\) d'une valeur \(h\) constante, suivre la tangente sur une longueur constante (méthode d'Euler normée). Les formules de récurrence se compliquent alors un peu.
Sur la figure ci-dessous, choisissez d'abord une équation : le champ correspondant se tracera en rouge. Cliquez alors sur le dessin pour choisir un point initial \((x_0, y_0)\) :
La tangente à la solution en ce point apparaît ; en cliquant plusieurs fois sur le bouton "avancer", on peut voir la ligne brisée construite par la méthode d'Euler. Le bouton "solution" fait tracer la "vraie" solution issue de \((x_0, y_0)\).
En bas de la figure,un bouton permet de choisir entre la méthode normée ou à pas constant. On peut aussi choisir la valeur de ce pas (ou la longueur de chaque segment dans le cas normé).
Faites diverses expérimentations en faisant varier l'équation, le point de départ, la méthode et le pas.
Vous constaterez en général que plus on choisit le pas petit plus la ligne brisée reste proche de la "vraie" solution.
Si le pas est trop grand, il peut se produire des phénomènes d'oscillation, ou d'instabilité, et la ligne brisée ne correspond plus à grand chose ; c'est notamment le cas dans les régions où la direction du champ est proche de la verticale, surtout si on a choisi la méthode à pas constant (car alors la longueur de chaque segment devient très grande).