La méthode du point milieu
La méthode d'Euler revenait à approximer le graphe de la solution u sur l'intervalle \([x_0, x_0 + h]\) par un segment \(AB\), avec \(A = (x_0, y_0)\), la pente du segment \(AB\) valant \(f(x_0, y_0)\). Soit \(M = (x_M, y_M)\) le milieu de \(AB\). La méthode du point milieu consiste à approximer le graphe de la solution \(u\) sur l'intervalle \(]x_0, x_0 + h]\) par un segment \(AC\) de pente \(f(x_M, y_M)\) (c'est la valeur du champ au point \(M\)).
Explication :
Détaillons un peu :
Les coordonnées de \(B\) sont \(\displaystyle{(x_0 + h, y_0 + hf(x_0, y_0))}\), et celles de \(M\) sont \(\displaystyle{(x_M, y_M) = (x0 + h/2 , y_0 + h/2 f(x_0, y_0))}\).
Les coordonnées de \(C\) sont donc
\(x_C = x_0 + h\),
\(\displaystyle{y_C = y_0 + h f(x_M, y_M) = y_0 + h f(x_0 + h/2, y_0 + h/2 f(x_0, y_0))}\)
On peut montrer assez facilement que cette méthode est d'ordre 2 : la valeur \(y_C\) est donc en général une meilleure approximation de \(u(x_0 + h)\) que la valeur \(y_B\), qui est celle obtenue par la méthode d'Euler.
La figure ci-dessous concerne l'équation \(y' = y - x\). Le champ est tracé en gris. Si vous déplacez le point A, vous verrez le segment \(AB\) en bleu clair, le point \(M\) en rose, la direction du champ au point \(M\) en jaune, et le segment \(AC\), qui lui est parallèle, en jaune également (le pas \(h\) est choisi assez grand, pour la clarté de la figure).
En relachant le bouton de la souris, vous verrez apparaître en mauve le graphe de la "vraie" solution. Vous constaterez probablement que le point \(C\) est plus près de ce graphe que le point \(B\).