Axiomes
Axiomes relatifs à la loi interne
Associativité, c'est à dire que pour tous éléments \(u, v\) et \(w\) de \(E\)
\((u + v) + w = u + (v + w)\)
Il existe un élément neutre, c'est à dire qu'il existe un élément de \(E\), noté \(0\), vérifiant pour tout élément \(v\) de \(E\)
\(v + 0 = 0 + v = v\)
Tout élément \(v\) de \(E\) admet un symétrique, c'est à dire qu'il existe un élément \(v^,\) de E tel que
\(v + v^, = v^, + v = 0\)
Cet élément \(v^,\) est noté \(-v\)
Commutativité, c'est à dire que pour tous éléments \(u\) et \(v\) de \(E\)
\(u + v = v + u\)
Remarque : Remarque 1
S'il existe un élément 0 vérifiant l'axiome 2. ci-dessus, il est unique.
Démonstration : Démonstration de l'unicité de l'élément neutre d'une loi interne, lorsque il existe
Soit \(E\) un ensemble muni d'une loi interne associative, qui, pour la généralité de l'exposé, sera notée \(\perp\). Soient deux éléments \(e\) et \(e'\) vérifiant la définition de l'élément neutre, c'est-à-dire, pour tout élément \(v\) de \(E\)
\(v \perp e = e \perp v = v\)
\(v \perp e' = e' \perp v = v\)
Alors, la première propriété utilisée avec \(v =e'\) donne
\( e'\perp e = e \perp e' = e'\)
La deuxième propriété, utilisée avec \(v = e\) donne
\(e \perp e' = e' \perp e=e\)
En comparant les deux résultats, il vient l'égalité :
\(e = e'\)
De même, si \(v\) est un élément de \(E\) et s'il existe un élément de \(E\) vérifiant l'axiome 3. ci-dessus, il est unique.
Démonstration : Démonstration de l'unicité du symétrique d'un élément de E s'il existe.
Soit \(E\) un ensemble muni d'une loi interne, commutative, associative, admettant un élément neutre noté \(0\). Pour la généralités de l'exposé, elle sera notée \(\perp\).
Soit \(v\) un élément de \(E\) et soient deux éléments \(v'\) et \(v''\) tels que :
\(v \perp v' = v' \perp v = 0\)
et
\(v \perp v'' = v'' \perp v = 0\)
Le calcul, mené de deux façons différentes, de \(v' \perp (v \perp v'')\) donne, en utilisant l'associativité de la loi \(\perp\) et les relations précédentes :
\(v' \perp (v \perp v'') = (v' \perp v) \perp v''\) d'où \(v' \perp (v \perp v'') = 0 \perp v''\) d'où \(v' \perp (v \perp v'') = v''\)
\(v' \perp (v \perp v'') = v' \perp v\) d'où \(v' \perp (v \perp v'') = v'\)
et par conséquent :
\(v' = v''\)
Remarque : Remarque 2
Les étudiants connaissant la théorie des groupes reconnaîtront dans les axiomes 1.,2.,3. et 4. ci-dessus, les axiomes caractérisant les groupes abéliens.
Axiomes relatifs à la loi externe
Pour tous éléments \(\lambda\) et \(\mu\) de \(K\), pour tout élément \(v\) de \(E\)
\((\lambda \mu)v = \lambda (\mu v)\)
Soit \(1\), l'élément neutre de la multiplication de \(K\). Pour tout élément \(v\) de \(E\)
\(1v = v\)
Axiomes liant les deux lois : double distributivité
Distributivité par rapport à l'addition des scalaires :
Pour tout \(\lambda\) et \(\mu\) de \(K\) et pour tout élément \(v\) de \(E\)
\((\lambda \mu)v = \lambda v + \mu v\)
Distributivité par rapport à l'addition des vecteurs :
Pour tout élément\(\lambda\) de \(K\) et pour tous éléments \(u\) et \(v\) de \(E\)
\(\lambda (u+v) = \lambda v + \lambda v\)
lois et espaces verctoriels
La loi interne et la loi externe doivent donc satisfaire à 8 axiomes pour que \(E\) muni de ces lois soit un espace vectoriel.