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Construire des familles génératrices
Le test comporte 4 questions :
Construire une famille génératrice d'un sous-espace vectoriel de R^4
Caractériser les vecteurs d'un sous-espace vectoriel
Reconnaître, parmi des familles données, celles qui sont génératrices de R^3
Construire une famille génératrice d'un espace vectoriel produit
La durée indicative du test est de 36 minutes.
Commencer
Construire une famille génératrice d'un sous-espace vectoriel de R^4

Soit le sous-espace vectoriel de défini par :

.

Construire une famille génératrice de .

Caractériser les vecteurs d'un sous-espace vectoriel

Soit le sous-espace vectoriel de engendré par les vecteurs et .

Caractériser les vecteurs de par une relation entre , et .

Reconnaître, parmi des familles données, celles qui sont génératrices de R^3

Les parties suivantes sont-elles génératrices de :

1.

2.

3.

4.

5.

Construire une famille génératrice d'un espace vectoriel produit

Soit une famille génératrice d'un espace vectoriel et une famille génératrice d'un espace vectoriel .

Montrer que la famille est une famille génératrice de l'espace vectoriel produit .

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Construire une famille génératrice d'un sous-espace vectoriel de R^4

Soit un vecteur quelconque de

appartient à si et seulement si et ,

ce qui équivaut à et ,

ce qui équivaut à

.

Donc .

Notons , .

Ces deux vecteurs sont des vecteurs de ( , pour ; , pour ).

Nous venons de démontrer que est élément de si et seulement si est combinaison linéaire des vecteurs et .

La partie est une famille génératrice de .

Remarque

on aurait pu caractériser par et , on aurait obtenu que est aussi une famille génératrice de .

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Caractériser les vecteurs d'un sous-espace vectoriel

Le vecteur appartient à si et seulement s'il existe deux réels et

tels que , soit

donc si et seulement si le système suivant admet une solution :

Le système admet une solution si et seulement si .

Donc est l'ensemble des vecteurs de tels que .

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Reconnaître, parmi des familles données, celles qui sont génératrices de R^3

Barème :2pts par question.

1) Soit , est combinaison linéaire d'éléments de équivaut à l'existence de réels , vérifiant . Cela revient à trouver des solutions au système d'inconnues , :

Ce système n'a de solution que si , par exemple si ; mais si , le système n'a pas de solution, ainsi n'est pas combinaison linéaire d'éléments de ,

donc n'est pas une partie génératrice de .

2) Soit , est combinaison linéaire d'éléments de équivaut à l'existence de réels , , vérifiant . Cela revient à trouver des solutions au système d'inconnues , , :

Quel que soit le choix de , ce système a toujours une solution :

, ,

donc tout vecteur de peut s'écrire comme combinaison linéaire d'éléments de ,

est une partie génératrice de .

3) Soit , est combinaison linéaire d'éléments de équivaut à l'existence de réels , , vérifiant . Cela revient à trouver des solutions au système d'inconnues , , :

Ce système n'a de solution que si , par exemple si ; mais si , le système n'a pas de solution, ainsi n'est pas combinaison linéaire d'éléments de ,

donc n'est pas une partie génératrice de .

4) on remarque que contient qui est une partie génératrice de ,

donc est une partie génératrice de .

5) Soit , est combinaison linéaire d'éléments de équivaut à l'existence de réels , , , vérifiant . Cela revient à trouver des solutions au système d'inconnues :

Ce système n'a de solution que si , par exemple si ; mais si , le système n'a pas de solution, ainsi n'est pas combinaison linéaire d'éléments de ,

donc n'est pas une partie génératrice de .

Remarque

Pour ceux qui connaissent la notion de dimension, il est immédiat que n'est pas génératrice car elle ne possède que deux éléments.

Mais attention et ont suffisamment d'éléments (3 et 4) et elles ne sont tout de même pas génératrices.

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Construire une famille génératrice d'un espace vectoriel produit

Soit un vecteur de l'espace produit, alors il existe un vecteur de et un vecteur de ,

vérifiant .

étant génératrice de , il existe scalaires vérifiant , de même il existe scalaires vérifiant .

Or .

Cette dernière égalité exprime que la famille de vecteurs est une famille génératrice de l'espace vectoriel produit .

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Bilan
Nombre de questions :4
Score obtenu :/30
Seuil critique :20
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :36 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
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