Etudier la dépendance linéaire (niveau 1)
Le test comporte 4 questions :
Reconnaître une famille libre dans R^3
Reconnaître une famille libre de fonctions
Décider si une partie est libre ou liée
Rendre minimale une famille génératrice
La durée indicative du test est de 36 minutes.
Commencer
Reconnaître une famille libre dans R^3

Le système formé des vecteurs suivants est-il libre dans ?

; ;

Reconnaître une famille libre de fonctions

Soit l'espace vectoriel des fonctions réelles,

si , on définit les fonctions par .

La famille est-elle libre ?

Décider si une partie est libre ou liée

Le système formé des vecteurs suivants est-il libre dans ?

 ;  ;

Si le système n'est pas libre, donner une relation de liaison.

Rendre minimale une famille génératrice

Soient les quatre applications , , , de dans définies par :

, , , ,

Soit l'ensemble des fonctions de la forme : , , , sont des nombres réels.

Montrer que la famille n'est pas une famille libre et en extraire une famille libre maximale.

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Reconnaître une famille libre dans R^3

On cherche les réels , , tels que .

Ce qui équivaut au système de trois équations à trois inconnues :

On utilise la méthode du pivot de Gauss pour résoudre le système, et on commence par changer l'ordre des équations. On obtient les systèmes équivalents :

La solution unique de ce système est ,

on en conclut que le système de vecteurs est libre.

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Reconnaître une famille libre de fonctions

Soient , , , des réels tels que .

L'égalité est vraie si et seulement si, pour tout réel ,

.

On peut donner des valeurs spéciales à :

Si , on obtient .

Si , on obtient .

Si , on obtient .

Si , on obtient .

Pour que l'égalité soit vraie, les quatre réels , , , doivent être solution du système suivant :

D'où .

L'égalité n'est vraie que si les quatre réels , , , sont nuls.

Conclusion : la famille est libre.

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Décider si une partie est libre ou liée

Barème : 3pts pour démontrer que le système n'est pas libre et 2pts pour trouver une relation de liaison.

On cherche les réels , , tels que .

Cette égalité équivaut au système de trois équations à trois inconnues suivant :

On obtient les systèmes équivalents suivants :

Il existe une infinité de triplets de nombres réels , , tels que ,

ce sont tous les triplets tels que et est un réel quelconque.

Le système de vecteurs n'est donc pas libre.

Pour obtenir une relation de liaison, il suffit de fixer une valeur de , par exemple , alors et , d'où la relation de liaison : , qui peut encore s'écrire : .

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Rendre minimale une famille génératrice

Barème : 3pts pour montrer que la famille des 4 fonctions est liée et 7pts pour démontrer que les trois premières sont linéairement indépendantes.

Il est clair que ,

soit ,

d'où .

En conséquence est combinaison linéaire de donc les vecteurs sont linéairement dépendants et est le sous-espace vectoriel engendré par .

On étudie l'indépendance linéaire des vecteurs .

Soient des scalaires tels que .

Cette relation est équivalente à : ,

soit , d'où en donnant successivement à les valeurs , et , on obtient , et . D'où le résultat.

La famille est donc une famille libre maximale.

Remarque

Rappelons le résultat du cours : Etant donnés vecteurs dans un espace vectoriel, on appelle rang de la famille de ces vecteurs la dimension du sous-espace engendré par ces vecteurs. Le rang est maximum (égal à ) si et seulement si la famille est libre.

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Bilan
Nombre de questions :4
Score obtenu :/30
Seuil critique :20
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :36 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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