Reconnaître une famille libre dans R^3
Durée : 6 mn
Note maximale : 5
Question
Le système formé des vecteurs suivants est-il libre dans \(\mathbb{R}^3\)?
\(u_1=(2,1,1)\); \(u_2=(1,3,1)\); \(u_3=(-2,1,3)\)
Solution
On cherche les réels \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), \(\alpha_3\) tels que \(\alpha_1u_1+\alpha_2u_2+\alpha_3u_3=0\).
\(\alpha_1u_1+\alpha_2u_2+\alpha_3u_3=0\Leftrightarrow(2\alpha_1+\alpha_2-2\alpha_3,\alpha_1+3\alpha_2+\alpha_3,\alpha_1+\alpha_2+3\alpha_3)=(0,0,0)\)
Ce qui équivaut au système de trois équations à trois inconnues :
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcl}2\alpha_1&+&\alpha_2&-&2\alpha_3&=&0\\\alpha_1&+&3\alpha_2&+&\alpha_3&=&0\\\alpha_1&+&\alpha_2&+&3\alpha_3&=&0\end{array}\right.\)
On utilise la méthode du pivot de Gauss pour résoudre le système, et on commence par changer l'ordre des équations. On obtient les systèmes équivalents :
\(\begin{array}{rcl}{\left\{\begin{array}{rcrcrcll}\alpha_1&+&3\alpha_2&+&\alpha_3&=&0&L_1\\\alpha_1&+&\alpha_2&+&3\alpha_3&=&0&L_2\\2\alpha_1&+&\alpha_2&-&2\alpha_3&=&0&L_3\end{array}\right.}&\Leftrightarrow&{\left\{\begin{array}{rcrcrcll}\alpha_1&+&3\alpha_2&+&\alpha_3&=&0&L_1\\&-&2\alpha_2&+&2\alpha_3&=&0&L_2\leftarrow L_2-L_1\\&-&5\alpha_2&-&4\alpha_3&=&0&L_3\leftarrow L_3-2L_1\end{array}\right.} \\\\ &\Leftrightarrow& {\left\{\begin{array}{rcrcrcll}\alpha_1&+&3\alpha_2&+&\alpha_3&=&0&L_1\\&-&\alpha_2&+&\alpha_3&=&0&L_2\leftarrow(1/2)L_2\\&&&-&9\alpha_3&=&0&L_3\leftarrow L_3-(5/2)L_2\end{array}\right.}\end{array}\)
La solution unique de ce système est \((\alpha_1,\alpha_2, \alpha_3)=(0,0,0)\),
on en conclut que le système de vecteurs \(\{u_1,u_2,u_3\}\) est libre.