Reconnaître une famille libre de fonctions
Durée : 10 mn
Note maximale : 10
Question
Dans l'espace vectoriel \(E\) des fonctions réelles, on considère les fonctions \(f,g,h,k\) définies par :
\(\forall x\in\mathbb{R},f(x)=e^x,g(x)=e^{-x},h(x)=e^{3x},k(x)=e^{-2x}\)
Montrer que la famille \(\{f,g,h,k\}\) est libre.
Solution
Soient \(\mu_1,\mu_2,\mu_3,\mu_4\) des réels tels que \(\mu_1f+\mu_2g+\mu_3h+\mu_4k=0\).
Ce qui équivaut à : \(\forall x\in\mathbb{R}\),\(\mu_1e^x+\mu_2e^{-x}+\mu_3e^{3x}+\mu_4e^{-2x}=0\) \((1)\).
Donner des valeurs spéciales à \(x\) conduirait à des calculs fastidieux.
Aussi on va utiliser deux propriétés de la fonction exponentielle, elle ne s'annule en aucun point réel et elle admet \(0\) pour limite quand \(x\) tend vers \(-\infty\).
En multipliant par \(e^{-3x}\) on obtient :
\((1)\Leftrightarrow\forall x\in\mathbb{R}, \mu_1e^{-2x}+\mu_2e^{-4x}+\mu_3+\mu_4e^{-5x}=0\) .
En prenant la limite quand \(x\) tend vers \(+\infty\), on trouve \(\mu_3=0\).
Donc \((1)\Leftrightarrow\forall x\in\mathbb{R}, \mu_1e^{x}+\mu_2e^{-x}+\mu_4e^{-2x}=0\).
En multipliant par \(e^{-x}\), on obtient :
\((1)\Leftrightarrow\forall x\in\mathbb{R}, \mu_1+\mu_2e^{-2x}+\mu_4e^{-3x}=0\).
En prenant la limite quand \(x\) tend vers \(+\infty\), on trouve \(\mu_1=0\).
En continuant la même démarche, \(\mu_2\) puis \(\mu_4=0\).
Conclusion : la famille \(\{f,g,h,k\}\) est libre.