Calculer le rang d'un système de vecteurs dans R^3
Durée : 6 mn
Note maximale : 10
Question
Dans l'espace vectoriel \(\mathbb{R}^3\), déterminer le rang du système de vecteurs \(\{v_1,v_2,v_3\}\)
où \(v_1=(1,-1,2)\), \(v_2=(2,3,3)\), \(v_3=(2,-7,7)\)
Solution
On rappelle que le rang d'un système ne change pas si on ajoute à un vecteur une combinaison linéaire des autres vecteurs.
Le système \(\{v_1,v_2,v_3\}\) a le même rang que le système \(\{w_1,w_2,w_3\}\)
où \(w_1=v_1, w_2=v_2-2v_1=(0,5,-1), w_3=v_3-2v_1=(0,-5,3)\)
Le système \(\{w_1,w_2,w_3\}\) a le même rang que le système \(\{u_1,u_2,u_3\}\)
où \(u_1=w_1, u_2=w_2, u_3=w_3+w_2=(0,0,2)\)
On a donc
\(u_1=(1,-1,2)\)
\(u_2=(0,5,-1)\)
\(u_3=(0,0,2)\)
De façon immédiate, le système \(\{u_1,u_2,u_3\}\) est libre, donc de rang 3.
Conclusion : le système \(\{v_1,v_2,v_3\}\) est de rang 3.
Remarque :
\(\mathbb R^3\) étant de dimension 3, \(\{v_1,v_2,v_3\}\) est une base de \(\mathbb R^3\).