Calculer le rang d'un système de vecteurs dans R^4 [Espace vectoriel de type fini]

Calculer le rang d'un système de vecteurs dans R^4

Durée : 6 mn

Note maximale : 10

Dans l'espace vectoriel \(\mathbb R^4\), déterminer le rang du système de vecteurs \(\{u_1,u_2,u_3,u_4\}\)

où \(u_1=(1,0,0,-1)\), \(u_2=(1,1,1,1)\), \(u_3=(1,2,3,4)\), \(u_4=(2,1,1,0)\)

Le système \(\{u_1,u_2,u_3,u_4\}\) a même rang que le système \(\{v_1,v_2,v_3,v_4\}\)

où \(v_1=u_1, v_2=u_2-u_1=(0,1,1,2), v_3=u_3-u_1=(0,2,3,5), v_4=u_4-2u_1=(0,1,1,2)\)

Le système \(\{v_1,v_2,v_3,v_4\}\) a même rang que le système \(\{w_1,w_2,w_3,w_4\}\)

où \(w_1=v_1, w_2=v_2, w_3=v_3-2v_2=(0,0,1,1), w_4=v_4-v_2=(0,0,0,0)\)

On a donc :

\(w_1=(1,0,0,-1)\)

\(w_2=(0,1,1,2)\)

\(w_3=(0,0,1,1)\)

\(w_4=(0,0,0,0)\)

De façon immédiate le système \(\{w_1,w_2,w_3,w_4\}\) est de rang \(3\), donc le rang \(\{u_1,u_2,u_3,u_4\}\) de est \(3\).

on a \(v_4=v_2\), donc \(u_4-2u_1=u_2-u_1\). On en déduit la relation de dépendance \(u_1+u_2-u_4=0\).