Reconnaître, parmi des ensembles de vecteurs donnés, ceux qui déterminent une base de C^2

Partie

Question

Les ensembles suivants déterminent-ils des bases du \(\mathbb C\textrm{-espace}\) vectoriel \(\mathbb C^2\) ?

  1. \(P=\{(1,i)\}\)

  2. \(Q=\{(1,i),(-i,1)\}\)

  3. \(S=\{(1,1),(i,-i)\}\)

  4. \(T=\{(1,0),(0,1),(i,0),(0,i)\}\)

Aide méthodologique

Prendre le temps d'observer chaque partie pour mettre en évidence, de façon simple son caractère libre ou lié puis générateur ou non générateur.

Après avoir tiré les conclusions des observations se lancer éventuellement dans les calculs.

Aide à la lecture

Il s'agit d'examiner si chaque partie est libre et génératrice.

La lettre \(i\) désigne le nombre complexe dont le carré est \(–1\).

Solution détaillée
  1. La partie \(P\) n'est pas génératrice car par exemple le vecteur \((1,0)\) de \(\mathbb C^2\) n'est pas combinaison linéaire de \((1,i)\) c'est-à-dire de la forme \(\lambda(1,i)\), \(\lambda\) nombre complexe.

    Donc \(P\) ne détermine pas une base de \(\mathbb C^2\).

  2. La partie \(Q\) n'est pas libre car \((1,i)=i(-i,1)\).

    Donc \(Q\) ne détermine pas une base de \(\mathbb C^2\).

  3. On se pose la question : \(S\) est-elle libre ?

    Soient \(\lambda\) et \(\mu\) des nombres complexes vérifiant : \(\lambda(1,1)+\mu(i,-i)=0\) alors \(\lambda\) et \(\mu\) satisfont au système : \(\left\{\begin{array}{ccccc}\lambda&+&i\mu&=&0\\\lambda&-&i\mu&=&0\end{array}\right.\)

    d'où l'on tire immédiatement \(\lambda=0\) puis \(\mu=0\). Donc la partie \(S\) est libre.

    On se pose alors la question : \(S\) est-elle génératrice ?

    Soit \(u=(z,z')\) un vecteur quelconque de \(\mathbb C^2\), \(u\) est combinaison linéaire d'éléments de \(S\) si et seulement si il existe des nombres complexes \(\lambda\) et \(\mu\) tels que \(u=\lambda(1,1)+\mu(i,-i)\).

    Cela revient à trouver des solutions au système :

    \(\left\{\begin{array}{rcrcl}\lambda&+&i\mu&=&z\\\lambda&-&i\mu&=&z'\end{array}\right.\Leftrightarrow~\left\{\begin{array}{rcrcc}\lambda&+&i\mu&=&z\\&-&2i\mu&=&-z+z'\end{array}\right.\)

    système ayant pour solution : \(\displaystyle{\mu=-\frac{i}{2}z+\frac{i}{2}z'~~,~~\lambda=\frac{1}{2}z+\frac{1}{2}z'}\).

    Donc la partie \(S\) est génératrice.

    Conclusion : \(S\) détermine une base de \(\mathbb C^2\).

  4. La partie \(T\) n'est pas libre, en effet \((i,0)=i(1,0)\).

    Donc \(T\) ne détermine pas une base de \(\mathbb C^2\).