Bases, coordonnées, sous-espaces dans P_2

Partie

Question

Soit \(P_2\) l'espace vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à \(2\), à coefficients réels.

  1. Montrer que \(p_1: x\mapsto x+1,~p_2: x\mapsto x-1\) et \(p_3: x\mapsto x^2-1\) constituent une base de \(P_2\).

  2. Donner les coordonnées de \(f: x\mapsto x^2-5x+4\) dans cette base.

  3. Soit le sous-ensemble de \(P_2\) défini par \(F=\{p\in P_2,p(1)=0\}\), vérifier que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(P_2\) et donner une base de \(F\).

Aide méthodologique
  1. Vérifier que \(\{p_1,p_2,p_3\}\) est une partie libre et génératrice de \(P_2\).

  2. Calculer les réels \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) vérifiant : \(\alpha_1p_1+\alpha_2p_2+\alpha_3p_3=f\).

  3. Exprimer sur \(a\), \(b\), \(c\) le fait que \(p: x\mapsto ax^2+bx+c\) est élément de \(F\).

Aide à la lecture

Les éléments de \(P_2\) sont des fonctions réelles de la forme : \(x\mapsto ax^2+bx+c\).

On sait que \(P_2\) est un espace vectoriel sur \(\mathbb R\) (Généralités sur les espaces vectoriels).

Solution détaillée
  1. Montrons que \(\{p_1,p_2,p_3\}\) est une famille libre :

    Soient des réels \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), \(\lambda_3\) vérifiant \(\lambda_1p_1+\lambda_2p_2+\lambda_3p_3=0\), donc pour tout réel \(x\), \(\lambda_1(x+1)+\lambda_2(x-1)+\lambda_3(x^2-1)=0\)

    En particulier pour \(x=1\), \(2\lambda_1=0\),

    et pour \(x=-1\), \(-2\lambda_2=0\),

    et pour \(x=0\), \(\lambda_1-\lambda_2-\lambda_3=0\),

    on obtient alors \(\lambda_1=0\), \(\lambda_2=0\) et \(\lambda_3=0\).

    Ceci démontre que \(\{p_1,p_2,p_3\}\) est une partie libre.

    On sait que \(q_1: x\mapsto1\), \(q_2:x \mapsto x\) et \(q_3: x\mapsto x^2\) est la base de référence de \(P_2\).

    De plus \(\displaystyle{q_1=\frac{1}{2}p_1-\frac{1}{2}p_2}\), \(\displaystyle{q_2=\frac{1}{2}p_1+\frac{1}{2}p_2}\) et \(\displaystyle{q_3=\frac{1}{2}p_1-\frac{1}{2}p_2+p_3}\).

    Donc toute combinaison linéaire de \(q_1,q_2,q_3\) est aussi combinaison linéaire de \(p_1,p_2,p_3\).

    Ceci démontre que \(\{p_1,p_2,p_3\}\) est une partie génératrice de \(P_2\).

    On peut alors conclure que \((p_1,p_2,p_3)\) est une base de \(P_2\).

  2. On cherche des réels \(\alpha_1\), \(\alpha_2\) et \(\alpha_3\) vérifiant : \(\alpha_1p_1+\alpha_2p_2+\alpha_3p_3=f\)

    donc pour tout réel \(x\), \(\alpha_1(x+1)+\alpha_2(x-1)+\alpha_3(x^2-1)=x^2-5x+4\).

    Il suffit que \((\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\) soit solution du système :

    \(\left\{\begin{array}{rcrcrcr}\alpha_1&-&\alpha_2&-&\alpha_3&=&4\\\alpha_1&+&\alpha_2&&&=&-5\\&&&&\alpha_3&=&1\end{array}\right.\textrm{ système équivalent à }\left\{\begin{array}{ccccccr}&&&&\alpha_3&=&1\\\alpha_1&-&\alpha_2&&&=&5\\\alpha_1&+&\alpha_2&&&=&-5\end{array}\right.\)

    qui a pour solution \(\alpha_1=0\), \(\alpha_2=-5\), \(\alpha_3=1\).

    Ainsi les coordonnées de \(f\) dans la base \((p_1,p_2,p_3)\) sont \(0\), \(-5\), \(1\).

  3. Une fonction polynôme \(p:x\mapsto ax^2+bx+c\) est élément de \(F\) si et seulement si \(a+b+c=0\)

    ce qui équivaut à \(p:x\mapsto a(x^2-1)+b(x-1)\) donc \(p=ap_3+bp_2\).

    Ainsi \(F\) est l'ensemble des combinaisons linéaires de \(p_2\) et \(p_3\), c'est donc le sous-espace vectoriel engendré par \(p_2\) et \(p_3\).

    Enfin la famille \(\{p_2,p_3\}\), sous-famille d'une base donc d'une partie libre, est aussi libre.

    Conclusion : \((p_2,p_3)\) est une base de \(F\).