Construire une application linéaire, connaissant son image
Durée : 8 mn
Note maximale : 10
Question
Construire une application linéaire \(f\) de \(\mathbb R^3\) dans lui-même telle que son image soit le sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^3\), engendré par \(V_1=(1,-1,2)\) et \(V_2=(3,0,-1)\).
Solution
Appelons \((e_1,e_2,e_3)\) la base canonique de \(\mathbb R^3\), \(e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1)\).
Une application linéaire étant entièrement déterminée par les images des vecteurs d'une base de l'espace vectoriel de départ, soit \(f\) l'application linéaire de \(\mathbb R^3\) dans lui-même telle que
\(f(e_1)=V_1, f(e_2)=V_2, f(e_3)=0\)
Alors \(f((x,y,z))=xf(e_1)+yf(e_2)+zf(e_3)=(x, -x,2x)+(3,y,0,-y)=(x+3y,-x,2x-y).\)
L'application \(f\) étant linéaire, l'image d'une famille génératrice de \(\mathbb R^3\) est une famille génératrice de \(f(\mathbb R^3)\)
donc \(V_1\) et \(V_2\) engendrent \(f(R^3)\).
\(f :\mathbb R^3\rightarrow\mathbb R^3\quad f((x,y,z))=(x+3y,-x,2x-y)\) est une solution.
Remarque :
il y a une infinité de solutions, par exemple toute application linéaire,
définie par \(f(e_1)=V_1, f(e_2)=V_2, f(e_3)=\alpha V_1+\beta V_2, \alpha\in\mathbb R,\beta\in\mathbb R\) , convient.