Mathématiques
Précédent
Suivant
Formes quadratiques sur Rn

L'espace vectoriel considéré est l'espace vectoriel , espace vectoriel de dimension

Un élément de s'écrit soit encore

est la base canonique.

Définition : forme quadratique sur Rn

On appelle forme quadratique sur une application de dans pour laquelle il existe éléments de , tels que :

L'application est caractérisée par les réels .

La définition suivante fixe le vocabulaire.

Définition : Une expression polynômiale homogène de degré 2 par rapport aux xi.

Une expression de la forme est appelée expression polynômiale homogène de degré 2 par rapport aux réels

Par conséquent une forme quadratique sur est une application de dans telle que si est une expression polynomiale homogène de degré 2 par rapport aux

Exemple

L'application de dans définie pour tout par

est une forme quadratique.

La propriété suivante justifie le vocabulaire et prouve qu'une forme quadratique non nulle n'est pas une application linéaire.

Proposition

Soit une forme quadratique sur

Soit un élément quelconque de et un scalaire quelconque. Alors :

Preuve

Soit un élément quelconque de et un réel quelconque.

Alors

et donc

D'où le résultat.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)