Formes quadratiques sur Rn

L'espace vectoriel considéré est l'espace vectoriel \(\mathbb{R}^{n}\), espace vectoriel de dimension \(n.\)

Un élément \(x\) de \(\mathbb{R}^{n}\) s'écrit \(x = (x_{1},x_{2}, . . . , x_{n})\) soit encore \(x = x_{1}e_{1} + x_{2}e_{2} + . . . + x_{n}e_{n}\)

\((e_{1},e_{2},. . .,e_{n})\) est la base canonique.

Définitionforme quadratique sur Rn

On appelle forme quadratique sur \(\mathbb{R}^{n}\) une application \(q\) de \(\mathbb{R}^{n}\) dans \(\mathbb{R}\) pour laquelle il existe \(n^{2}\) éléments de \(\mathbb{R}\), \(b_{i,j}\) tels que :

\(\forall (x_{1},x_{2},..., x_{n}) \in \mathbb{R}^{n}, ~ q(x_{1},x_{2},..., x_{n}) = \displaystyle{\sum_{\substack{{1\le i\le n}\\{1\le j\le n}}}}b_{i,j}x_{i}x_{j}\)

L'application \(q\) est caractérisée par les réels \(b_{i,j}\).

La définition suivante fixe le vocabulaire.

DéfinitionUne expression polynômiale homogène de degré 2 par rapport aux xi.

Une expression de la forme \(\displaystyle{\sum_{\substack{{1\le i\le n}\\{1\le j\le n}}}}b_{i,j}x_{i}x_{j}\) est appelée expression polynômiale homogène de degré 2 par rapport aux réels \(x_{i}.\)

Par conséquent une forme quadratique sur \(\mathbb{R}^{n}\) est une application \(q\) de \(\mathbb{R}^{n}\) dans \(\mathbb{R}\) telle que si \(x = (x_{1},x_{2},..., x_{n}),q(x)\) est une expression polynomiale homogène de degré 2 par rapport aux \(x_{i} .\)

Exemple

L'application \(q\) de \(\mathbb{R}^{3}\) dans \(\mathbb{R}\) définie pour tout \(x = (x_{1},x_{2},x_{3})\) par

\(q(x) = x_{1}^{2} + 2x_{1}x_{3} + 2x_{2}^{2} + 3x_{3}^{2}\) est une forme quadratique.

La propriété suivante justifie le vocabulaire et prouve qu'une forme quadratique non nulle n'est pas une application linéaire.

Proposition

Soit \(q\) une forme quadratique sur \(\mathbb{R}^{n}.\)

Soit \(x\) un élément quelconque de \(E\) et \(\lambda\) un scalaire quelconque. Alors : \(q(\lambda x) = \lambda^{2}q(x)\)

Preuve

Soit \(x\) un élément quelconque de \(\mathbb{R}^{n}\) et \(\lambda\) un réel quelconque.

Alors \(q(\lambda x) = q(\lambda x_{1}, \lambda x_{2}, . . . , \lambda x_{n}) = \displaystyle{\sum_{\substack{{1\le i\le n}\\{1\le j\le n}}}}b_{i,j} (\lambda x_{i}) (\lambda x_{j}),\)

et donc \(q(\lambda x) = \displaystyle{\sum_{\substack{{1\le i\le n}\\{1\le j\le n}}}}b_{i,j} \lambda^{2} x_{i}x_{j} = \lambda^{2} \displaystyle{\sum_{\substack{{1\le i\le n}\\{1\le j\le n}}}}b_{i,j} x_{i}x_{j} = \lambda^{2} q(x).\)

D'où le résultat.