Exercice n°2

Partie

Question

On considère les vecteurs de \(\mathrm{I\!R^4}\)

\(V_1 = (1, 1, - 3, - 1)~, \\ V_2 = ( - 1, 0, 2, 3)~, \\ V_3 = (1, 5, - 7, 7)~, \\ V_4 = (2, - 1, - 3, - 8)~,\\ V_5 =(3, 2, - 8, - 5)~.\)

Sont-ils linéairement indépendants ? Sinon, trouver toutes les relations de dépendance entre eux. Extraire de cette famille une famille libre ayant le maximum de vecteurs.

Aide simple

Lorsque l'on étudie les propriétés d'une famille de vecteurs, il vaut mieux les écrire ainsi :

\(V_1=\left ( \begin{array}{l} ~~1 \\~~ 1 \\ -3 \\ -1  \end{array} \right ) ,V_2=\left ( \begin{array}{lll} -1 \\ ~~0 \\~~2 \\~~ 3  \end{array} \right ),V_3=\left ( \begin{array}{lll} ~~1 \\ ~~5 \\ -7 \\ ~~7  \end{array} \right ),V_4=\left ( \begin{array}{l} ~~2 \\ -1 \\ -3 \\ -8  \end{array} \right ),V_5=\left ( \begin{array}{ll} ~~3 \\ ~~2 \\ -8 \\-5  \end{array} \right )\)

Aide détaillée

Pour voir si une famille de vecteurs est une famille libre, on cherche toutes les relations de dépendance entre eux en posant :

\(x~\left ( \begin{array}{l} ~~1 \\~~ 1 \\ -3 \\ -1  \end{array} \right )+y~\left ( \begin{array}{lll} -1 \\ ~~0 \\~~2 \\~~ 3  \end{array} \right ) +z~\left ( \begin{array}{l} ~~1 \\ ~~5 \\ -7 \\ ~~7  \end{array} \right ) +t~\left ( \begin{array}{l} ~~2 \\ -1 \\ -3 \\ -8  \end{array} \right )+u ~\left ( \begin{array}{ll} ~~3 \\ ~~2 \\ -8 \\-5  \end{array} \right ) =\left ( \begin{array}{l} 0 \\0 \\ 0\\ 0  \end{array} \right )\)

et on est amené ici à résoudre le système homogène de l'exercice 1. On utilise donc les solutions obtenues et en les interprétant dans le cadre de ce problème.

Solution détaillée

Une base de l'espace des solutions du système homogène a été obtenue à l'exercice 1.

\(B = \left \{  (- 5, - 4, 1, 0, 0)~, ~(1, 3, 0, 1, 0)~,~ (- 2, 1, 0, 0, 1) \right \}\)

Cela veut dire qu'on peut trouver trois relations de dépendance linéaire entre ces vecteurs, et que toutes les autres relations sont des combinaisons linéaires de celles-là.

Ce sont les relations :

\(- 5V_1 - 4V_2 + V_3 = 0, ~~~~ V_1 + 3V_2 + V_4 = 0,~~~~ - 2V_1 + V_2 + V_5 = 0\)

Ces relations permettent de calculer les trois derniers vecteurs en fonction des deux premiers ; ceux-ci ne sont pas colinéaires. \(V_1 ~et ~V_2\) forment donc une famille libre maximale extraite de la famille donnée.