Systèmes linéaires

Cherchons à quelle condition un vecteur \(V = (x, y, z, t)\) de \(\mathrm{I\!R^4}\) appartient à

\(F = lin \,(2, 3, - 3, 0), \,( - 1, 2, 1, 3),\, (1, 2, - 1, - 2),\)

c'est-à-dire s'exprime comme combinaison linéaire des vecteurs donnés :

\((x, y, z, t) = a(2, 3, - 3, 0) + b(- 1, 2, 1, 3) + c(1, 2, - 1, - 2),\)

autrement dit

\(\left\{ \begin{array}{llllllll} 2a&-&b&+&c &=& x \\ 3a&+&2b&+&2c &=& y\\-3a&+&b&-&c &=& z \\ &&3b&-&2c&=& t\end{array}\right.~~(1)\)

Nous avons donc affaire à un système de quatre équations à trois inconnues \(a, b, c\) et quatre paramètres \(x, y, z, t.\) Il s'agit de trouver à quelle condition, \(x, y, z, t\) étant donnés, il est possible de calculer \(a, b, c\). Pour cela on triangule le système :

\(\begin{array}{lll|ll} -1& 2 & 1 & x &  \\ \hline 0 &-1& 0 & x+z \\ 0 & 0 & 1 & t+9x+6z \\ 0 & 0 & 0 & y-27x-17z-4t \end{array}.\)

Le système \((1)\) est possible si et seulement si \(y - 27x - 17z - 4t = 0\) ; cette équation est donc une équation pour \(F\).

Conclusion

\(F\) a pour équation : \(27x - y + 17z + 4t = 0.\)

Commentaires

• Attention à ne pas perdre de vue le but : la question n'est pas de résoudre complètement le système \((1)\), mais de trouver à quelle condition il est possible. D'autre part, avec nos notations, les inconnues du système ne sont pas \(x, y, z ~~et~~ t\) (et on ne cherche pas à calculer ces valeurs), mais \(a, b, c\) (que l'on n'a pas besoin non plus de calculer !). La réponse est ici une équation, et non pas des valeurs numériques.

• Il est recommandé de contrôler le résultat final en vérifiant que les coordonnées des vecteurs donnés satisfont effectivement l'équation trouvée. Ici encore c'est pas cher et ça peut rapporter gros !