Exercice n°4

Partie

Question

Trouver des équations d'un sous-espace donné par un système de générateurs.

Dans \(\mathrm{I\!R^4}\), trouver des équations caractérisant les sous espaces :

  • \(F = lin ~(1, 3, - 3, - 1), ~( - 1, - 1, 2, 4), ~(0, 2, - 1, 3)\)

  • \(G = lin~ (1, 2, 3, 4), ~(2, - 1, 0, 2),~(1, 1, 1, 3), ~( - 1, 2, 0, 1)\)

Solution détaillée

Même méthode que dans l'exercice précédent. Cherchons à quelle condition un vecteur \(V = (x, y, z, t)\) de \(\mathrm{I\!R^4}\) appartient à \(F\) et à \(G\), c'est-à-dire s'exprime comme combinaison linéaire des vecteurs donnés :

On trouve :

\(F = {(x, y, z, t) \in \mathrm{I\!R^4}~~ |~~ 3x + y + 2z = 0 ~~et ~~10x + 3z + t = 0} ~~et~~ G =\mathrm{I\!R^4}\)

Remarques

Pour \(F\), il n'y a pas bien sûr unicité de la réponse (elle dépend du choix des pivots), mais on doit trouver deux équations ; si le pivot a été fait de façon naturelle, dans chacune de ces équations figurent exactement trois des variables \(x, y, z, t\) — il est facile d'en déduire une base de \(F\). Pour \(G\), le système que l'on écrit est toujours possible, autrement dit \(G\) est décrit par zéro équation, ce qui s'exprime plus simplement par \(G=\mathrm{I\!R^4}\) .