Exercice 1 :

Partie

Question

Montrer que les suites \(\displaystyle{(I_n)\textrm{ et }(J_n)}\) définies par :

\(I_n=\displaystyle{\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\frac{\sin^3(t^2)}{(2+t)^n}dt \textrm{ et }J_n=\int_0^{\tfrac{\pi}{4}}\frac{t^n}{\sqrt{t^2+1\cos t}}dt}\)

ont une limite nulle.

Solution détaillée

Étude de In :

Les inégalités \(\forall x \in[0,\frac{\pi}{2}]\quad0\leq\frac{\sin^3x}{(2+x)^n}\leq\frac{1}{2^n}\) entraînent :

\(\displaystyle{|I_n|\leq\frac{\pi}{2}\frac{1}{2^n}}\) ,

d'où le résultat.

Étude de \(J_n\) :

On a :\(\displaystyle{\forall x\in[0,\frac{\pi}{4}]\cos x\geq\frac{1}{\sqrt{2}}\textrm{ et donc}0\leq\frac{x^n}{\sqrt{x^2+1\cos x}}\leq\sqrt{2}(\frac{\pi}{4})^n}\) d'où

\(\displaystyle{|J_n|\leq\sqrt{2}(\frac{\pi}{4})^{n+1}}\)

et donc le résultat.