Théorème et formule d'intégration par parties
Théorème :
Soit \(f\) et \(g\) des fonctions de classe \(C^1\) sur un intervalle \(I\), alors
intégrale définie :
pour \(a\) et \(b\) dans \(I\) on a :
\(\displaystyle{\int_a^b f'(t)g(t)dt=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int_a^b f(t)g'(t)dt}\).
intégrale indéfinie :
\(\displaystyle{\int f'(x)g(x)dt=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)dx}\)
Preuve :
Application de la formule de dérivation du produit de fonctions \((fg)' = f'g + fg'\).
Attention :
La formule d'intégration par parties dans le cas d'une intégrale indéfinie signifie que si \(H\) est une primitive de \(fg'\) alors \(fg - H\) est une primitive de \(f'g\). On doit être prudent quand on utilise cette méthode : ainsi pour calculer \(\int\frac{dx}{x}\) si on pose \(\displaystyle{f'(x)=1,g(x)=\frac{1}{x}}\) on obtient :
\(\displaystyle{\int\frac{dx}{x}=1+\int\frac{dx}{x}}\)
Alors \(1 = 0\) ?
Ne cherchez pas l'erreur, il n'y en a pas ! La dernière égalité (égalité de primitives) est vraie à une constante près !