R est une Fonction polynomiale
La fonction \(R\) est somme de fonctions de la forme \(\displaystyle{t\to A\cos^mt\sin^nt,A\in\mathbf R,(m,n)\in\textrm N\times\textrm N}\) ,
il suffit donc d'étudier des intégrales de la forme \(\displaystyle{\int_a^b\cos^m\sin^ntdt,\quad(m,n)\in\textrm N\times\textrm N}\).
Une particuliarité très utile des fonctions sinus et cosinus est que l'une est, au signe près, la dérivée et une primitive de l'autre et qu'elles sont liées par la relation : \(\displaystyle{\cos^2t+\sin^2t=1}\).
D'où si m ou n est impair : méthode par changement de variable direct.
On pose : pour \(m\) impair, \(u=sin(t)\), pour \(n\) impair, \(u=cos(t)\) et, compte tenu de la remarque précédente, tout s'arrange ; on a une fonction polynomiale en \(u\). On le voit sur l'exemple suivant.
Exemple :
Calcul de\(\displaystyle{\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\cos^5t\sin^4tdt}\)
Le changement de variable \(\displaystyle {u=\sin t}\) conduit à l'intégrale :
\(\displaystyle{\int_0^1(1-u^2)^2u^4du=\int_0^1(1-2u^2+u^4)u^4du=[\frac{u^2}{5}-\frac{2u^2}{7}+\frac{u^9}{9}]_0^1=\frac{1}{5}-\frac{2}{7}+\frac{1}{7}=\frac{8}{315}}\)
Le calcul avec Maple
Pour \(\displaystyle{\int\cos(t)^5\sin(t)^4dt}\)
> int(cos(t)^5*sin(t)^4,t);
\(\begin{array}{l}-\frac{1}{9}\sin(t)^3\cos(t)^6-\frac{1}{21}\sin(t)\cos(t)^6+\frac{1}{105}\cos(t)^4\sin(t)\\+\frac{4}{315}\cos(t)^2\sin(t)+\frac{8}{315}\sin(t)\end{array}\)
Pour \(\displaystyle{\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\cos(t)^5\sin(t)^4dt}\)
> int(cos(t)^5*sin(t)^4,t=0..Pi/2);
\(\displaystyle{\frac{8}{315}}\)
Si m et n sont pairs on utilise la méthode dite (de façon incorrecte) de linéarisation.
On utilise les formules connues (sinon les revoir dans le module fonctions classiques)
\(\displaystyle{\cos^2t=\frac{1+\cos2t}{2},\sin^2t=\frac{1-\cos2t}{2}}\) , qui ne linéarisent pas les monômes en sinus et cosinus mais en abaissent le degré.
Exemple :
Calcul de\(\displaystyle{\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\cos^2t\sin^4tdt}\)
On a :
\(\displaystyle{\begin{array}{lll}\cos^2t\sin^4t&=&\cos^2t\sin^2t\sin^2t=\frac{1}{4}\sin^22t\sin^2t=\frac{1}{16}(1-\cos4t)(1-\cos2t)\\&=&\frac{1}{16}(1-\cos4t-\cos2t+\cos4t\cos2t)=\frac{1}{16}(1-\cos4t-\cos2t+\frac{1}{2}(\cos6t-\cos2t))\end{array}}\)
D'où \(\displaystyle{\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\cos^2t\sin^4tdt=\frac{1}{16}\left[t-\frac{\sin4t}{4}-\frac{\sin2t}{2}+\frac{\sin6t}{12}-\frac{\sin2t}{4}\right]_0^{\tfrac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{32}}\)
Le calcul avec Maple
\(\displaystyle{\int\cos t(t)^2\sin(t)^4dt}\)
> int(cos(t)^2*sin(t)^4,t);
\(\displaystyle{-\frac{1}{6}\sin(t)^3\cos(t)^3-\frac{1}{8}\sin(t)\cos(t)^3+\frac{1}{16}\cos(t)\sin(t)+\frac{1}{16}t}\)
\(\displaystyle{\int_0^{\tfrac{1\pi}{2}}\cos(t)^2\sin(t)^4dt}\)
> int(cos(t)^2*sin(t)^4,t=0..Pi/2);
\(\displaystyle{\frac{1}{32}\pi}\)