Exercice n°2
Partie
Question
Soient \(A,\) \(B,\) \(C\) trois sous-ensembles de \(E.\) Montrer que :
\([(A\cup C\subset A\cup B)~et~ (A\cap C\subset A\cap B)]\Rightarrow C\subset B.\)
Aide simple
Distinguer plusieurs cas pour faire intervenir les deux hypothèses.
Aide détaillée
Prendre un élément \(c\) de \(C\) et distinguer plusieurs cas suivant qu'il appartient ou non à \(A.\)
Solution détaillée
On veut montrer \(C\subset B.\) Soit \(c\) un élément de \(C.\) On veut montrer que \(c\) est aussi un élément de \(B.\)
Comme les hypothèses font intervenir \(A\cap C\) et \(A\cup C,\) nous allons distinguer deux cas :
1er cas :
\(c\in A\) et \(c\in C.\)
Donc \(c\) est un élément de \(A\cap C.\) On utilise l'hypothèse \(A\cap C\subset A\cap B\) pour déduire que \(c\) est élément de \(A\cap B.\) On en déduit que \(c\) est élément de \(B.\) Ce qu'il fallait démontrer.
2ème cas :
\(c\notin A\) et \(c\in C.\)
\(c\) est un élément de \(A\cup C.\) On utilise l'hypothèse \(A\cup C\subset A\cup B\) pour en déduire que \(c\) est élément de \(A\cup B.\) Mais \(c\) n'est pas élément de \(A.\) On en déduit que \(c\) est élément de \(B.\) Ce qu'il fallait démontrer.
Conclusion :
Dans tous les cas possibles, on a montré qu'un élément \(c\) de \(C\) est élément de \(B\) et donc \(C\subset B\) est vrai.