Démonstrations

Equivalence

\(F\subset G\Leftrightarrow F\cup G = G\)

1. \(F\subset G\Rightarrow F\cup G = G\)

   comme \(F\subset G\) on a \(F\cup G\subset G\cup G.\)

   Or \(G\cup G = G\) donc \(F\cup G\subset G~~~~ G\subset F\cup G\) est évident.

2. Réciproque :Supposons \(F\cup G = G.\) Un élément \(x\) de \(F\) est dans \(F\cup G\) et donc dans \(G.\) Ce qui montre que \(F\subset G.\)

   L'équivalence est donc montrée.

Equivalence :

\(F\subset G\Leftrightarrow C_E F\cup G = E\)

Montrons l'implication \(F\subset G\Rightarrow C_E F\cup G = E.\)

Comme \(F\subset G\) on a \(C_E G\subset C_E F\)

or \(C_E G\cup G = E\)

\(C_E G\cup G\subset G\cup C_E F\)

Donc \(E\subset G\cup C_E F\) et \(E = G\cup C_E F\)

Montrons la réciproque :

Si \(E = G\cup C_E F,\) soit \(x\) un élément de \(F.\)

\(x\) appartient à \(E\) et donc à \(G\cup C_E F\) et il n'appartient pas à \(C_E F.\) Donc \(x\) est élément de \(G.\) On a donc montré \(F\subset G.\)

Equivalence :

\(F\subset G\Leftrightarrow F\cap G = F\)

\(F\subset G\Rightarrow F\cap G = F\)

Si \(F\subset G,~~ F\subset F\cap G.\)

L'inclusion réciproque \(F\cap G\subset F\) est toujours vraie.

Donc si \(F\subset G\) alors \(F\cap G = F.\)

Réciproque :

Si \(F\cap G = F\) tout élément de \(F\) est élément de \(F\cap G\) et donc de \(G.\) \(F\subset G.\)

Ce qui démontre l'équivalence \(F\subset G\Leftrightarrow F\cap G = F\)

Par passage au complémentaire on déduit l'équivalence :\( F\subset G\Leftrightarrow F\cap C_E G =\emptyset\)

car \(C_E(G\cup C_E F) = C_E G\cap F\) et \(C_EE=\emptyset\)