Mathématiques
Précédent
Suivant
Le continu : les nombres complexes

Comme on peut établir une bijection entre et les ensembles et sont aussi en bijection. Cantor a montré qu'on pouvait établir une bijection entre les points de l'intervalle et les points du carré ce qui permet d'affirmer l'existence d'une bijection entre les points de la droite et les points du plan.

Démonstration : de Cantor

Comment fabriquer une bijection entre les points de et les points du carré ? On considére un point du carré de coordonnées et et on écrit le développement décimal illimité de ces deux nombres, en choisissant cette fois-ci le développement impropre (avec des indéfiniment), si ce nombre est décimal. Aucun des développements écrits n'a donc que des zéros à partir d'un certain rang. On partage les chiffres de ces développements en blocs de zéros terminés par un chiffre non nul. Puis on écrit un développement décimal d'un nombre en écrivant dans l'ordre le premier bloc de suivi du premier bloc de le second bloc de suivi du second bloc de etc.

Exemple : pour comprendre

Ce procédé permet d'établir une bijection entre les points du carré et les points du segment. Un peu de réflexion permet de le voir et de comprendre pourquoi on a choisi des développements n'ayant pas de zéros indéfiniment.

Par conséquent l'ensemble des points de la droite et celui des points du plan ont le même cardinal, résultat qui avait paru si surprenant à Cantor quand il l'avait établi. Cela entraîne que l'ensemble des nombres complexes a le même cardinal que l'ensemble des nombres réels.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)