Le continu : les nombres complexes
Comme on peut établir une bijection entre \(\mathbb R\)et \(]0, 1[,\) les ensembles \(\mathbb R^2\) et \(]0, 1[^2\) sont aussi en bijection. Cantor a montré qu'on pouvait établir une bijection entre les points de l'intervalle \(]0, 1[\) et les points du carré \(]0, 1[^2,\) ce qui permet d'affirmer l'existence d'une bijection entre les points de la droite et les points du plan.
Démonstration : de Cantor
Comment fabriquer une bijection entre les points de \(]0, 1[\) et les points du carré \(]0, 1[^2\) ? On considére un point du carré de coordonnées \(x\) et \(y\) et on écrit le développement décimal illimité de ces deux nombres, en choisissant cette fois-ci le développement impropre (avec des \(9\) indéfiniment), si ce nombre est décimal. Aucun des développements écrits n'a donc que des zéros à partir d'un certain rang. On partage les chiffres de ces développements en blocs de zéros terminés par un chiffre non nul. Puis on écrit un développement décimal d'un nombre \(z\) en écrivant dans l'ordre le premier bloc de \(x\) suivi du premier bloc de \(y,\) le second bloc de \(x\) suivi du second bloc de \(y,\) etc.
Exemple : pour comprendre
\(x = 0,301204007 \dots\\y = 0,00137008\dots\\x = 0,3~ |~ 01 ~| ~2~ |~ 04~ |~ 007~ |~\dots\\y = 0,001 ~|~ 3 ~|~ 7 ~|~ 008 ~|~\dots\\z = 0,3 ~|~ 001 ~|~ 01 ~|~ 3 ~|~ 2 ~|~ 7 ~|~ 04 ~|~ 008 ~|~ 007 ~|~\dots\\z = 0,30010132704008007\dots\)
Ce procédé permet d'établir une bijection entre les points du carré et les points du segment. Un peu de réflexion permet de le voir et de comprendre pourquoi on a choisi des développements n'ayant pas de zéros indéfiniment.
Par conséquent l'ensemble des points de la droite et celui des points du plan ont le même cardinal, résultat qui avait paru si surprenant à Cantor quand il l'avait établi. Cela entraîne que l'ensemble des nombres complexes a le même cardinal que l'ensemble des nombres réels.