Mathématiques
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Les cardinaux infinis
Axiome : du choix

Un principe important dans les mathématiques issues des travaux de Cantor est ce qu'on appelle l'axiome du choix qui donne la possibilité de faire une infinité de choix simultanément. En voici l'énoncé :

"Étant donné un ensemble et l'ensemble de ses parties non vides, on peut définir une application de dans qui à toute partie non vide de associe un élément de cette partie."

Il y a en mathématiques de nombreux énoncés dont on a montré qu'ils sont équivalents à l'axiome du choix.

Cet axiome permet, si on connaît une surjection entre et d'affirmer qu'on peut, pour chaque élément de choisir arbitrairement un antécédent dans et ainsi fabriquer une application de dans dont on montre qu'elle est injective en utilisant les propriétés des applications étudiées précédemment.

Utiliser une autre relation d'ordre ?

On peut essayer de définir une autre relation d'ordre sur les cardinaux en disant que le cardinal de est plus grand que celui de si on peut définir une application surjective de sur

L'axiome du choix permet de montrer qu'alors il existe une injection de dans On n'a donc défini en fait qu'une seule relation d'ordre sur les cardinaux.

On montre que si la théorie des ensembles est non contradictoire, elle le reste si on lui adjoint l'axiome du choix (résultat démontré par Gödel en 1940), elle le reste aussi si on adopte la négation de l'axiome du choix (Cohen, 1963), ce qui signifie que cet axiome est indépendant des autres axiomes de la théorie des ensembles.

Théorème : de Cantor

Cantor a établit le théorème suivant :

Pour tout ensemble le cardinal de l'ensemble des parties de est strictement supérieur au cardinal de

On en fait une démonstration par l'absurde en supposant une application surjective de sur et on considère l'ensemble :

Cet ensemble est l'image d'un élément de par l'application On constate alors que les deux assertions, et sont impossibles. On a donc une contradiction, ce qui démontre qu'il n'existe pas de surjection d'un ensemble sur l'ensemble de ses parties.

Infinité de cardinaux

Le théorème de Cantor montre l'existence d'une infinité de cardinaux, puisque pour tout cardinal on peut en trouver un strictement plus grand, celui de l'ensemble de ses parties que nous noterons

Cette notation s'explique, car à tout sous ensemble d'un ensemble on peut associer une application de dans l'ensemble en prenant la fonction caractéristique de peut donc être mis en bijection avec l'ensemble des fonctions de à valeur dans ensemble noté

On désigne par le cardinal de et par le cardinal de On a vu que car n'est pas dénombrable.

Comparaison des cardinaux et

On va montrer la relation en montrant une double inégalité :

Si à tout nombre compris entre et on associe son développement dyadique (propre), (c'est-à-dire son développement en base

on obtient une injection de dans et donc

Si à toute suite infinie d'éléments de on associe un nombre entre et qui admet cette suite comme développement triadique, (c'est-à-dire son développement en base on obtient une injection de dans et donc

L'hypothèse du continu

On peut se demander s'il existe des cardinaux compris entre et

L'affirmation "Il n'existe pas de cardinal strictement compris entre et est un axiome qui s'appelle l'hypothèse du continu.

On peut généraliser :

L'affirmation "Pour tout cardinal infini il n'existe pas de cardinal strictement compris entre et est un axiome qui s'appelle l'hypothèse généralisée du continu.

Gödel et Cohen ont aussi montré que cet axiome était indépendant des autres axiomes de la théorie des ensembles.

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