Énoncé

Ce théorème est fondamental dans la théorie des polynômes.

Théorème : de la division euclidienne des polynômes

Soient et deux polynômes appartenant à , non nul.

Alors il existe deux polynômes de et , uniques, tels que :

avec ou

Vocabulaire : la "phrase" mathématique

avec ou

est souvent appelée "Identité de la division euclidienne".

Le polynôme est appelé "quotient de la division euclidienne" et le "reste de la division euclidienne".

Attention

Le " ou " de la phrase mathématique ci-dessus est un "ou" exclusif, compte tenu du fait que le degré du polynôme nul n'est pas défini.

Remarque

Attention à bien prendre en compte tout l'énoncé. L'égalité ne suffit pas à caractériser l'identité de la division euclidienne et à déterminer le reste et le quotient de cette division. La condition imposée au polynôme de vérifier l'inégalité est aussi importante que l'égalité.

Exemple

Considérons l'égalité .

Ce n'est pas l'identité de la division euclidienne de par car le polynôme qui devrait jouer le rôle de reste ne vérifie pas la condition : .

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
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