| Démonstration du théorème de la division euclidienne |
La preuve se décompose en deux parties : la démonstration de l'unicité, qui se fait par l'absurde et la démonstration de l'existence. Nous donnons dans ce paragraphe deux démonstrations de l'existence, l'une basée sur le raisonnement par récurrence, l'autre, plus abstraite en apparence, sur une propriété fondamentale des parties de
.
La démonstration se fait par l'absurde.
Soient
et
satisfaisant aux conditions du théorème.
On a donc à la fois
et
avec
ou
et
ou
. Il vient alors
Si
, comme
est intègre,
est non nul,
aussi et l'on peut donc considérer les degrés de ces polynômes.
Cela donne :
D'où l'inégalité :
.
Mais, le polynôme
étant non nul, l'un au moins des deux polynômes
ou
est non nul et on aura donc (à partir des propriétés
ou
,
ou
et dans tous les cas possibles) :
.
(Si
et
sont tous les deux non nuls, on applique le résultat général sur le degré d'une somme de polynômes.)
D'où la contradiction.
Donc
et par conséquent
.
Les deux démonstrations données, ainsi qu'une présentation algorithmique, utilisent de façon essentielle le lemme suivant. C'est l'outil clé y compris pour le calcul effectif du reste et du quotient.
Soient
et
deux polynômes non nuls de
.
On suppose que :
et
,
avec
,
,
.
Alors le polynôme
est soit nul, soit de degré strictement inférieur au degré de
.
Le résultat est immédiat : le monôme dominant du polynôme
est
, celui de
est
.
Donc lorsque l'on calcule l'expression
, on voit apparaître :
Comme
, le coefficient de
dans le polynôme
est nul. Alors, soit
est le polynôme nul, soit c'est un polynôme de degré au plus égal à
. D'où le résultat.
Soient les polynômes
et
. Alors,
qui est bien un polynôme de degré strictement inférieur au degré de
.
