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Démonstration du théorème de la division euclidienne

La preuve se décompose en deux parties : la démonstration de l'unicité, qui se fait par l'absurde et la démonstration de l'existence. Nous donnons dans ce paragraphe deux démonstrations de l'existence, l'une basée sur le raisonnement par récurrence, l'autre, plus abstraite en apparence, sur une propriété fondamentale des parties de .

Unicité

La démonstration se fait par l'absurde.

Soient et satisfaisant aux conditions du théorème.

On a donc à la fois et avec ou et ou . Il vient alors

Si , comme est intègre, est non nul, aussi et l'on peut donc considérer les degrés de ces polynômes.

Cela donne :

D'où l'inégalité : .

Mais, le polynôme étant non nul, l'un au moins des deux polynômes ou est non nul et on aura donc (à partir des propriétés ou , ou et dans tous les cas possibles) : .

(Si et sont tous les deux non nuls, on applique le résultat général sur le degré d'une somme de polynômes.)

D'où la contradiction.

Donc et par conséquent .

Existence

Les deux démonstrations données, ainsi qu'une présentation algorithmique, utilisent de façon essentielle le lemme suivant. C'est l'outil clé y compris pour le calcul effectif du reste et du quotient.

Lemme : Comment diminuer le degré

Soient et deux polynômes non nuls de .

On suppose que : et ,

avec , , .

Alors le polynôme est soit nul, soit de degré strictement inférieur au degré de .

Le résultat est immédiat : le monôme dominant du polynôme est , celui de est .

Donc lorsque l'on calcule l'expression , on voit apparaître :

Comme , le coefficient de dans le polynôme est nul. Alors, soit est le polynôme nul, soit c'est un polynôme de degré au plus égal à . D'où le résultat.

Exemple

Soient les polynômes et . Alors,

qui est bien un polynôme de degré strictement inférieur au degré de .

Première démonstration de l'existence d'un quotient et d'un reste
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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