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Raisonner sur les degrés et sur la divisibilité
Le test comporte 2 questions :
Raisonner sur les degrés
Divisibilité
La durée indicative du test est de 35 minutes.
Commencer
Raisonner sur les degrés

Montrer que si trois polynômes , et , à coefficients réels, vérifient l'égalité :

alors

Peut-on remplacer le corps des réels par le corps des complexes ?

Divisibilité

Soit les polynômes :

  1. Montrer que est divisible par .

  2. En déduire que les polynômes sont divisibles par le polynôme .

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Raisonner sur les degrés

L'égalité de l'énoncé est équivalente à l'égalité suivante :

On raisonne par l'absurde et par étapes :

  • Première étape

    Supposons le polynôme non nul, alors

    donc le degré de est alors le degré de est et le coefficient de son terme de plus haut degré est .

    Le polynôme est non nul et aussi, ce qui implique qu'au moins un des polynômes ou est non nul.

    Supposons de plus et alors

    Alors .

    Notons le coefficient du terme de plus haut degré de .

    Trois cas peuvent se présenter :

    a. alors le degré de est et

    b. alors le degré de est et

    c. alors le degré de est car et (somme de deux réels strictement positifs) donc .

    Dans tous les cas le degré de est un entier pair.

    L'égalité (1) exprimerait qu'un polynôme de degré pair est égal à un polynôme de degré impair ce qui est absurde.

    Supposons et , on aboutit à la même absurdité car

    et .

    Résultat analogue si et .

    On vient de montrer que l'hypothèse non nul amène à une absurdité donc est nul.

  • Deuxième étape

    Au cours de la première étape on a démontré que si au moins un des polynômes ou est non nul

    alors est non nul en étudiant le coefficient du terme de plus haut degré.

    Donc et sont nuls.

    Conclusion : .

    Le fait que les coefficients soient réels est essentiel pour affirmer

    Dans

    avec .

    Donc on ne peut pas remplacer le corps des réels par le corps des complexes.

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Divisibilité
  1. (10 points)

    ,

    D'où

    Cette dernière égalité exprime que est divisible par B.

  2. (10 points)

    On utilise un raisonnement par récurrence.

    Cas

    , donc est divisible par B.

    Supposons divisible par , montrons alors que est aussi divisible par .

    Donc .

    A la question précédente on a démontré : .

    En reportant (1) dans (2), on obtient

    Cette dernière égalité exprime la divisibilité de par .

    Le raisonnement par récurrence est ainsi terminé.

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Bilan
Nombre de questions :2
Score obtenu :/40
Seuil critique :28
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :35 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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